Dada a aceleração vec{a}(t) de uma partícula, calcule a velocidade vec{v}(t) e o vetor posição vec{r}(t), supondo t \geq 0, \vec{v}(0)=\overrightarrow{0} e vec{r}(0)=\overrightarrow{0}, para:
\vec{a}=e^{-t} \vec{i}-6(t+1) \vec{j}+3 \operatorname{sen}(t) \vec{k}

Passo 1

Temos a aceleração
\vec{a}(t)=e^{-t}\,\vec{i}-6\,(t+1)\,\vec{j}+3\sin t\,\vec{k}
e as condições iniciais \vec{v}(0)=\vec{0}, \vec{r}(0)=\vec{0}. Para achar a velocidade e a posição usamos o Teorema Fundamental do Cálculo componente a componente:
\vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\int_{0}^{t}\vec{a}(s)\,ds, \qquad \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_{0}^{t}\vec{v}(s)\,ds.

Passo 2

Integramos cada componente de \vec{a} para obter \vec{v} e aplicamos \vec{v}(0)=\vec{0}:
Para a componente \vec{i}:
v_{i}(t)=\int_{0}^{t}e^{-s}\,ds =\bigl[-e^{-s}\bigr]_{0}^{t} =-e^{-t}+1 =1-e^{-t}\,.
Para a componente \vec{j}:
v_{j}(t)=\int_{0}^{t}\bigl(-6(s+1)\bigr)\,ds =-6\int_{0}^{t}(s+1)\,ds =-6\Bigl[\tfrac{s^{2}}{2}+s\Bigr]_{0}^{t} =-3t^{2}-6t\,.
Para a componente \vec{k}:
v_{k}(t)=\int_{0}^{t}3\sin s\,ds =3\bigl[-\cos s\bigr]_{0}^{t} =-3\cos t+3 =3\bigl(1-\cos t\bigr)\,.
Logo
\vec{v}(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)\,\vec{i} +\bigl(-3t^{2}-6t\bigr)\,\vec{j} +3\bigl(1-\cos t\bigr)\,\vec{k}\,.

Passo 3

Agora integramos \vec{v}(t) para obter \vec{r}(t) com \vec{r}(0)=\vec{0}:
Para a componente \vec{i}:
r_{i}(t)=\int_{0}^{t}\bigl(1-e^{-s}\bigr)\,ds =\Bigl[s+e^{-s}\Bigr]_{0}^{t} =\bigl(t+e^{-t}\bigr)-1 =t+e^{-t}-1\,.
Para a componente \vec{j}:
r_{j}(t)=\int_{0}^{t}\bigl(-3s^{2}-6s\bigr)\,ds =-3\int_{0}^{t}s^{2}\,ds-6\int_{0}^{t}s\,ds =-3\Bigl[\tfrac{s^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{t} -6\Bigl[\tfrac{s^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{t} =-t^{3}-3t^{2}\,.
Para a componente \vec{k}:
r_{k}(t)=\int_{0}^{t}3\bigl(1-\cos s\bigr)\,ds =3\Bigl[s-\sin s\Bigr]_{0}^{t} =3\bigl(t-\sin t\bigr)\,.
Portanto
\vec{r}(t)=\bigl(t+e^{-t}-1\bigr)\,\vec{i} +\bigl(-t^{3}-3t^{2}\bigr)\,\vec{j} +3\bigl(t-\sin t\bigr)\,\vec{k}\,.

Resposta

\displaystyle \vec{v}(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)\,\vec{i}-\bigl(3t^{2}+6t\bigr)\,\vec{j} +3\bigl(1-\cos t\bigr)\,\vec{k} \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(t+e^{-t}-1\bigr)\,\vec{i}-\bigl(t^{3}+3t^{2}\bigr)\,\vec{j} +3\bigl(t-\sin t\bigr)\,\vec{k}

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