Escreva os números complexos abaixo para a forma trigonométrica (polar) e usando a formula de Euler. Em seguida represente cada um no plano complexo:
-5 i

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o número complexo dado: escrever na forma trigonométrica (polar), escrever usando a fórmula de Euler e representar no plano complexo. O número complexo fornecido é -5i. Portanto, precisamos encontrar:
  • o módulo r de -5i;
  • um argumento \theta adequado (indicando o ângulo no plano complexo);
  • expressar -5i como r(\cos\theta + i\sin\theta);
  • expressar -5i como r e^{i\theta};
  • e indicar a posição do ponto correspondente no plano complexo (coordenadas e direção do vetor/radial).

Passo 2

Calcular o módulo r.
Lembre que para um número complexo genérico z = x + iy, o módulo é dado por |z| = \sqrt{x^2 + y^2}. Aqui podemos identificar as partes real e imaginária de -5i: a parte real é x=0 e a parte imaginária é y=-5. Então
| -5i | = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5.
Isso significa que o ponto está a distância 5 da origem no plano complexo.

Passo 3

Determinar o argumento \theta.
O argumento \theta é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que vai da origem ao ponto (x,y). Para x=0 e y=-5 o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário negativo, ou seja, na direção para baixo. Os ângulos que apontam para baixo são \theta = -\tfrac{\pi}{2} (usando o intervalo principal (-\pi,\pi]) ou equivalentemente \theta = \tfrac{3\pi}{2} (usando 0 a 2\pi). É comum usar o argumento principal, então escolhemos
\theta = -\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Escrever a forma trigonométrica (polar).
A forma trigonométrica padrão é r(\cos\theta + i\sin\theta). Substituindo r=5 e \theta = -\tfrac{\pi}{2} obtemos
5\big(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\big).
Verificamos as razões trigonométricas: \cos(-\tfrac{\pi}{2})=0 e \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1. Assim a forma trigonométrica dá
5(0 + i\cdot(-1)) = 5(-i) = -5i,
o que confirma que a conversão está correta. (Observação: poderíamos também escrever a forma trigonométrica com \theta=\tfrac{3\pi}{2}; isso daria a mesma coisa.)

Passo 5

Escrever usando a fórmula de Euler.
A fórmula de Euler diz que e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. Portanto a forma exponencial/polar é simplesmente
5 e^{i(-\tfrac{\pi}{2})},
que normalmente escrevemos de forma mais simples como
5 e^{-i\pi/2}.
Novamente, usar \theta=\tfrac{3\pi}{2} daria a alternativa 5 e^{i 3\pi/2}, equivalente ao usar -\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Representação no plano complexo.
No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário. O número -5i corresponde ao ponto com coordenadas (0,-5): isso vem de x=0 e y=-5. A representação geométrica é o vetor que sai da origem (0,0) e vai até (0,-5). Esse vetor tem comprimento 5 e direção \theta = -\tfrac{\pi}{2} (ou \tfrac{3\pi}{2}), ou seja, aponta diretamente para baixo. Para desenhar: marque o ponto (0,-5) no eixo imaginário e desenhe a seta do origem até esse ponto.

Resposta

5\big(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\big)
5 e^{-i\pi/2}
Ponto no plano complexo: (0,-5) (vetor de comprimento 5 e ângulo -\tfrac{\pi}{2}).

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