Escreva os números complexos abaixo para a forma trigonométrica (polar) e usando a formula de Euler. Em seguida represente cada um no plano complexo:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o número complexo dado: escrever na forma trigonométrica (polar), escrever usando a fórmula de Euler e representar no plano complexo. O número complexo fornecido é
. Portanto, precisamos encontrar:
- o módulo
de ; - um argumento
adequado (indicando o ângulo no plano complexo); - expressar
como ; - expressar
como ; - e indicar a posição do ponto correspondente no plano complexo (coordenadas e direção do vetor/radial).
Passo 2
Calcular o módulo
.
Lembre que para um número complexo genérico , o módulo é dado por
. Aqui podemos identificar as partes real e imaginária de
: a parte real é
e a parte imaginária é
. Então
Lembre que para um número complexo genérico
Isso significa que o ponto está a distância
da origem no plano complexo.
Passo 3
Determinar o argumento
.
O argumento é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que vai da origem ao ponto
. Para
e
o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário negativo, ou seja, na direção para baixo. Os ângulos que apontam para baixo são
(usando o intervalo principal
) ou equivalentemente
(usando
a
). É comum usar o argumento principal, então escolhemos
O argumento
Passo 4
Escrever a forma trigonométrica (polar).
A forma trigonométrica padrão é . Substituindo
e
obtemos
A forma trigonométrica padrão é
Verificamos as razões trigonométricas:
e
. Assim a forma trigonométrica dá
o que confirma que a conversão está correta. (Observação: poderíamos também escrever a forma trigonométrica com
; isso daria a mesma coisa.)
Passo 5
Escrever usando a fórmula de Euler.
A fórmula de Euler diz que . Portanto a forma exponencial/polar é simplesmente
A fórmula de Euler diz que
que normalmente escrevemos de forma mais simples como
Novamente, usar
daria a alternativa
, equivalente ao usar
.
Passo 6
Representação no plano complexo.
No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário. O número corresponde ao ponto com coordenadas
: isso vem de
e
. A representação geométrica é o vetor que sai da origem
e vai até
. Esse vetor tem comprimento
e direção
(ou
), ou seja, aponta diretamente para baixo. Para desenhar: marque o ponto
no eixo imaginário e desenhe a seta do origem até esse ponto.
No plano complexo, o eixo horizontal é o eixo real e o eixo vertical é o eixo imaginário. O número
Resposta
Ponto no plano complexo: