Dada a aplicação T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x-y-z).
Calcule o Ker T ?

Passo 1

O exercício dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x,;x - y,;2x - y - z,)
e pede para calcular o núcleo, isto é,
Ker,T = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z) = (0,0,0)
Vamos usar a ideia de resolver um sistema linear homogêneo.

Passo 2

Para achar Ker,T, impomos
T(x,y,z) = (0,0,0),
o que equivale ao sistema
x = 0, x - y = 0, 2x - y - z = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação vem x = 0.
  • Substituindo em x - y = 0 0 - y = 0, logo y = 0.
  • Finalmente, em 2x - y - z = 0 substituindo x=0 e y=0 obtemos -z = 0, logo z = 0.

Passo 4

O único vetor que satisfaz todas as equações é (x,y,z) = (0,0,0). Portanto o núcleo é o subespaço trivial.

Resposta

Ker,T = (0,0,0)

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