Dada a aplicação T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x-y-z).
Caso a aplicação seja um isomorfismo, calcule T^-1.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (x,;x - y,;2x - y - z)
Ele solicita verificar que T é um isomorfismo (ou seja, invertível) e, nesse caso, determinar explicitamente T^-1. Para isso usaremos conceitos de matriz de transformação, determinante e resolução de sistema linear.

Passo 2

Vamos escrever T em coordenadas da base canônica. Sejam
u = x, v = x - y, w = 2x - y - z
Então a matriz de T em relação à base canônica é
A = 1 & 0 & 0 [6pt] 1 & -1 & 0 [6pt] 2 & -1 & -1
Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdotl((-1)cdot(-1)-0cdot(-1)r) -0+0 = 1cdot1 = 1
Como det(A)neq0, T é de fato um isomorfismo.]

Passo 3

Para achar
Da primeira equação vem
Substituindo em :

Passo 4

Portanto, para (u,v,w)inR^3, a aplicação inversa é
T^-1(u,v,w) = l(x,y,zr) = l(u,;u - v,;u + v - wr)

Resposta

T^-1(u,v,w) = (u,;u - v,;u + v - w)

Exercícios relacionados