Sejam E e F dois conjuntos em que estão definidas as operações * e triang<=, respectivamente, as quais são associativas e têm elementos neutros. Sobre o conjunto E times F, consideremos a operação o assim definida:
(a, b) circ(c, d)=(a * c, b triang<= d)
Determine os elementos inversíveis de E times F para essa operação.

Passo 1

O enunciado considera dois conjuntos E e F munidos de operações associativas com elementos neutros—digamos eE para (E,*) e eF para (F,triang<=). Em Etimes F define-se a operação
(a,b)circ(c,d)=(a*c,;btriang<= d)
Queremos encontrar todos os elementos de Etimes F que admitam inverso em relação a circ.

Passo 2

Primeiro, identificamos o elemento neutro em Etimes F. Como em E vale
eE * a = a * eE = aforall ain E
e em F vale
eF triang<= b = b triang<= eF = bforall bin F,
fica claro que em Etimes F o neutro de circ é
(eE,eF),
pois
(eE,eF)circ(a,b) = (eE * a,;eF triang<= b) = (a,b),
(a,b)circ(eE,eF) = (a * eE,;b triang<= eF) = (a,b)

Passo 3

Por definição, um elemento (a,b)in Etimes F é inversível se existe (c,d)in Etimes F tais que
(a,b)circ(c,d) = (eE,eF) e (c,d)circ(a,b) = (eE,eF)
Escrevendo as componentes, isso equivale a
a * c = eE, c * a = eE,
b triang<= d = eF, d triang<= b = eF
Logo, a deve ser inversível em (E,*) e b deve ser inversível em (F,triang<=).

Passo 4

Recíproco: se a^-1 é o inverso de a em E e b^-1 é o inverso de b em F, então
(a,b)circ(a^-1,b^-1) = (a * a^-1,,b triang<= b^-1) = (eE,eF)
e analogamente trocando a ordem. Portanto (a,b) é inversível e seu inverso é (a^-1,b^-1).

Resposta

Os elementos inversíveis de Etimes F são exatamente os pares
(a,b)in Etimes F mid a inversível em (E,*),;b inversível em (F,triang<=), íí
i.e. a unidade de Etimes F é o produto cartesiano das unidades de E e de F.

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