Sejam
e
dois conjuntos em que estão definidas as operações
e
, respectivamente, as quais são associativas e têm elementos neutros. Sobre o conjunto
, consideremos a operação o assim definida:
Determine os elementos inversíveis de
para essa operação.
Passo 1
O enunciado considera dois conjuntos
e
munidos de operações associativas com elementos neutros—digamos
para
e
para
. Em
define-se a operação
Queremos encontrar todos os elementos de
que admitam inverso em relação a
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o elemento neutro em
. Como em
vale
e em
vale
fica claro que em
o neutro de
é
pois
Passo 3
Por definição, um elemento
é inversível se existe
tais que
Escrevendo as componentes, isso equivale a
Logo,
deve ser inversível em
e
deve ser inversível em
.
Passo 4
Recíproco: se
é o inverso de
em
e
é o inverso de
em
, então
e analogamente trocando a ordem. Portanto
é inversível e seu inverso é
.
Resposta
Os elementos inversíveis de
são exatamente os pares
i.e. a unidade de
é o produto cartesiano das unidades de
e de
.