Exercício 9.0.4. Em cada ìtem expresse o vetor como combinação linear de p1(x)= 4 x^2+x+2, p2(x)=3 x^2-x+1 e p3(x)=5 x^2+2 x+3.
-15 x^2-7 x-9

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio -15x^2-7x-9 como combinação linear de
p1(x)=4x^2+x+2, p2(x)=3x^2-x+1, p3(x)=5x^2+2x+3
O conteúdo usado aqui é espaço vetorial de polinômios, base e combinação linear: basta supor coeficientes a,b,c e igualar as componentes de grau 2, 1 e 0.

Passo 2

Suponha
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=-15x^2-7x-9
Expandindo o lado esquerdo,
a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3) =(4a+3b+5c)x^2+(a-b+2c)x+(2a+b+3c)
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante ao polinômio dado, obtemos o sistema
4a+3b+5c=-15, a - b +2c=-7, 2a + b +3c=-9

Passo 3

Da segunda equação isolamos a:
a - b +2c=-7 Longrightarrow a=-7+b-2c

Passo 4

Substituímos a=-7+b-2c nas equações de grau 2 e constante:
4(-7+b-2c)+3b+5c=-15 ;Longrightarrow; 7b-3c=13,
2(-7+b-2c)+b+3c=-9 ;Longrightarrow; 3b-c=5

Passo 5

Resolvendo
7b-3c=13, 3b-c=5,
podemos multiplicar a segunda por 3 e subtrair:
9b-3c=15 e 7b-3c=13 ;Longrightarrow; 2b=2 ;Longrightarrow; b=1
Então 3cdot1 - c=5 c=-2.

Passo 6

Finalmente, de a=-7+b-2c segue
a=-7+1-2(-2)=-7+1+4=-2

Resposta

-15x^2-7x-9 = -2,p1(x) + 1,p2(x) - 2,p3(x)

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