Mostre que A=(ll0 & a b & 0) rvert, a, b in R é parte fechada de M2(R) para a operação de adição.

Passo 1

O enunciado define
A=l0 & a b & 0m|a,binRr
e pede para mostrar que A é fechada em M2(R) sob a operação de soma de matrizes. Vamos usar a definição de conjunto fechado sob uma operação binária.

Passo 2

Um subconjunto S de um conjunto com operação binária * é dito fechado sob * se, para quaisquer x,y in S, tivermos x * y in S. Aqui a operação é a soma de matrizes em M2(R).

Passo 3

Sejam
M1,M2 in A
Pelo formato de A, existem alpha1,beta1,alpha2,beta2 in R tais que
M1 =0 & alpha1[6pt]beta1 & 0, M2 =0 & alpha2[6pt]beta2 & 0 ]

Passo 4

Calculemos a soma:
M1+M2 =0+0 & alpha1+alpha2[6pt]beta1+beta2 & 0+0 =0 & alpha1+alpha2[6pt]beta1+beta2 & 0
Como alpha1+alpha2 e beta1+beta2 são números reais, a matriz resultante está em A.]

Passo 5

Portanto para quaisquer M1,M2in A temos M1+M2in A. Isso prova que A é fechado sob a operação de adição em M2(R).

Resposta

A é um subconjunto fechado de M2(R) para a operação de soma de matrizes.

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