Exercício 9.0.4. Em cada ìtem expresse o vetor como combinação linear de p1(x)= 4 x^2+x+2, p2(x)=3 x^2-x+1 e p3(x)=5 x^2+2 x+3.
9 x^2+8 x+7

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio 9x^2+8x+7 como combinação linear dos polinômios
p1(x)=4x^2+x+2, p2(x)=3x^2-x+1, p3(x)=5x^2+2x+3
O conteúdo é espaço vetorial de polinômios e combinação linear: devemos encontrar escalares a,b,c tais que
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=9x^2+8x+7

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e coletamos coeficientes de cada potência de x:
a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3) ;=;(4a+3b+5c)x^2+(a-b+2c)x+(2a+b+3c)

Passo 3

Igualando aos coeficientes de 9x^2+8x+7 obtemos o sistema
4a+3b+5c=9, a - b +2c=8, 2a + b +3c=7

Passo 4

Da segunda equação isolamos b:
b = a +2c -8
Substituindo em 1.ª e 3.ª equações:
7a+11c=33, 3a+5c=15
Resolvendo esse sistema, por exemplo eliminando a, vem c=3 e então a=0. Logo
b = 0 +2cdot3 -8 = -2

Passo 5

Portanto, os escalares são
a=0, b=-2, c=3,
e
9x^2+8x+7 = 0cdot p1(x)-2cdot p2(x)+3cdot p3(x)

Resposta

9x^2+8x+7 = -2,p2(x) + 3,p3(x)

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