Dada a aplicação , então determine as matrizes , sabendo que e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma transformação linear definida por . O que a questão pede é para encontrar as matrizes dessa transformação em relação às bases e . Então, vamos trabalhar com matrizes de transformação e mudança de base para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a matriz . Como é a base padrão de , que é , a matriz dessa transformação na base padrão é simplesmente a matriz dos coeficientes das imagens dos vetores da base.
Para achar , aplicamos a cada vetor da base :
Agora, organizamos esses resultados como colunas na matriz:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz [[T]_{\alpha}^{\beta}). Isso significa que queremos a representação de onde a base de partida é e a base de chegada é , que é .
Para isso, precisamos expressar as imagens dos vetores da base na base . Ou seja, para cada onde está em , vamos escrever como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos lembrar que:
Seja , e queremos encontrar coeficientes tais que .
Aplicando isso aos vetores que já calculamos:
:
Encontrar tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos , e .
:
Sistema:
Solução: , .
:
Sistema:
Solução: , .
Agora, organizamos esses coeficientes como colunas na matriz :
Passo 4
Por fim, vamos determinar a matriz [T]beta^alpha. Isso significa que queremos a representação de T onde a base de partida é beta e a base de chegada é alpha .
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de alpha para beta , ou seja, Palpha beta . Isso é usado para converter coordenadas de uma base para outra.
A matriz Palpha beta é formada pelos vetores de beta escritos na base alpha . Como alpha é a base padrão, os vetores de beta já estão escritos em coordenadas padrão:
Palpha beta = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1
A matriz [T]beta^alpha pode ser encontrada multiplicando [T]alpha^alpha pela matriz inversa de Palpha beta :