Dada a aplicação T(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y+z), então determine as matrizes [T]alpha^alpha,[T]alpha^beta e[T]beta^alpha, sabendo que alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e beta=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y + z,, 2x - y,, 2y + z) . O que a questão pede é para encontrar as matrizes dessa transformação em relação às bases alpha e beta . Então, vamos trabalhar com matrizes de transformação e mudança de base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a matriz [T]alpha^alpha. Como alpha é a base padrão de R^3 , que é alpha = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) , a matriz dessa transformação na base padrão é simplesmente a matriz dos coeficientes das imagens dos vetores da base.
Para achar [T]alpha^alpha, aplicamos T a cada vetor da base alpha :
  1. T(1,0,0) = (1 + 2cdot0 + 0,, 2cdot1 - 0,, 2cdot0 + 0) = (1, 2, 0)
  2. T(0,1,0) = (0 + 2cdot1 + 0,, 2cdot0 - 1,, 2cdot1 + 0) = (2, -1, 2)
  3. T(0,0,1) = (0 + 2cdot0 + 1,, 2cdot0 - 0,, 2cdot0 + 1) = (1, 0, 1)
Agora, organizamos esses resultados como colunas na matriz:
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz [[T]_{\alpha}^{\beta}). Isso significa que queremos a representação de onde a base de partida é e a base de chegada é , que é .
Para isso, precisamos expressar as imagens dos vetores da base na base . Ou seja, para cada onde está em , vamos escrever como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos lembrar que:
Seja , e queremos encontrar coeficientes tais que .
Aplicando isso aos vetores que já calculamos:
  1. :
    Encontrar tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos , e .
  1. :
Sistema:
Solução: , .
  1. :
Sistema:
Solução: , .
Agora, organizamos esses coeficientes como colunas na matriz :

Passo 4

Por fim, vamos determinar a matriz [T]beta^alpha. Isso significa que queremos a representação de T onde a base de partida é beta e a base de chegada é alpha .
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de mudança de base de alpha para beta , ou seja, Palpha beta . Isso é usado para converter coordenadas de uma base para outra.
A matriz Palpha beta é formada pelos vetores de beta escritos na base alpha . Como alpha é a base padrão, os vetores de beta já estão escritos em coordenadas padrão:
Palpha beta = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1
A matriz [T]beta^alpha pode ser encontrada multiplicando [T]alpha^alpha pela matriz inversa de Palpha beta :
[T]beta^alpha = [T]alpha^alpha cdot Palpha beta^-1
Calculando a inversa de Palpha beta :
Primeiro, calculamos o determinante:
det(Palpha beta) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1
Como o determinante é 1, a matriz inversa é fácil de calcular:
Palpha beta^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & -1 & 1
Agora, multiplicamos [T]alpha^alpha pela inversa:
[T]beta^alpha = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 cdot 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & -1 & 1 = 1 - 1 & 2 - 1 & 1 2 - 0 & -1 - 0 & 0 0 -1 & 2 -1 & 1 = 0 & 1 & 1 2 & -1 & 0 -1 & 1 & 1

Resposta

As matrizes solicitadas são:
[T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 2 & 1 , [T]alpha^beta = 1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 -3 & -1 & 0 , [T]beta^alpha = 0 & 1 & 1 2 & -1 & 0 -1 & 1 & 1

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