Dada uma aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que T(x, y)=(x, x-y)
Responda:
a) Mostre que T é uma transformação linear do \mathbb{R}^{2} para o \mathbb{R}^{2}.
b) Achar a \operatorname{Im}(T)
c) Achar o \operatorname{Ker}(T)
d) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
e) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))
f) Bônus dê a matriz da Transformação Linear.
Passo 1
O enunciado define a aplicação T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y) = (\,x,\;x-y\,).
O tema é transformação linear; vamos
mostrar que T satisfaz aditividade e homogeneidade,
achar \Im(T) resolvendo a forma geral da imagem,
achar \Ker(T) resolvendo T(x,y)=(0,0),
determinar as dimensões de \Im(T) e \Ker(T) e, por fim, obter a matriz de T na base canônica.
Passo 2
Para aditividade, tomemos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}). Então
(a) T é linear pois satisfaz aditividade e homogeneidade.
(b) \Im(T)=\mathbb{R}^{2}.
(c) \Ker(T)=\{(0,0)\}.
(d) \dim(\Im(T))=2.
(e) \dim(\Ker(T))=0.
(f) \displaystyle[T]_{\mathrm{can}}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.