Dada uma aplicação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que T(x, y)=(x, x-y)
Responda:
a) Mostre que T é uma transformação linear do \mathbb{R}^{2} para o \mathbb{R}^{2}.
b) Achar a \operatorname{Im}(T)
c) Achar o \operatorname{Ker}(T)
d) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))
e) Determine a \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))
f) Bônus dê a matriz da Transformação Linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y) = (\,x,\;x-y\,).
O tema é transformação linear; vamos
mostrar que T satisfaz aditividade e homogeneidade,
achar \Im(T) resolvendo a forma geral da imagem,
achar \Ker(T) resolvendo T(x,y)=(0,0),
determinar as dimensões de \Im(T) e \Ker(T) e, por fim, obter a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Para aditividade, tomemos (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}). Então
T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\;(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2})) =(x_{1}+x_{2},\,x_{1}-y_{1}+x_{2}-y_{2})
e
T(x_{1},y_{1})+T(x_{2},y_{2}) =(x_{1},x_{1}-y_{1})+(x_{2},x_{2}-y_{2}) =(x_{1}+x_{2},\,x_{1}-y_{1}+x_{2}-y_{2}).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).
Para homogeneidade, seja \alpha\in\mathbb{R}:
T(\alpha x,\alpha y) =(\alpha x,\;\alpha x-\alpha y) =(\alpha x,\;\alpha(x-y)) =\alpha\,(x,\;x-y) =\alpha\,T(x,y).
Portanto T é linear.

Passo 3

Um vetor genérico da imagem é
T(x,y)=(x,\;x-y).
Dado qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^2, basta escolher x=u e y=u-v
para ter T(x,y)=(u,v). Assim
\Im(T)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 4

O núcleo é
\Ker(T)=\{(x,y)\mid T(x,y)=(0,0)\}.
Resolvendo
x=0,\quad x-y=0
obtém-se x=0 e y=0, logo
\Ker(T)=\{(0,0)\}.

Passo 5

Como \Im(T)=\mathbb{R}^2,
\dim(\Im(T))=2.
Como \Ker(T)=\{0\} é trivial,
\dim(\Ker(T))=0.

Passo 6

Na base canônica \{(1,0),(0,1)\}, as colunas da matriz de T são T(1,0)=(1,1) e T(0,1)=(0,-1). Logo
[T]_{\mathrm{can}} =\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T é linear pois satisfaz aditividade e homogeneidade.
(b) \Im(T)=\mathbb{R}^{2}.
(c) \Ker(T)=\{(0,0)\}.
(d) \dim(\Im(T))=2.
(e) \dim(\Ker(T))=0.
(f) \displaystyle[T]_{\mathrm{can}}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&-1\end{pmatrix}.

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