(Questão 06) [2,0 pontos] Seja \pi o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-1,1,-2). Encontre a distância do ponto C=(1,1,1) ao plano \pi.
(a) 10
(b) \frac{4 \sqrt{30}}{15}
(c) \frac{8}{3}
(d) \frac{4}{\sqrt{3}}
(e) \frac{\sqrt{2}}{2}
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto C=(1,1,1) ao plano \pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que une A=(1,2,3) e B=(-1,1,-2). Vamos usar vetores para achar a equação do plano e em seguida aplicar a fórmula da distância de ponto a plano.
Passo 2
A direção da reta AB é dada pelo vetor
\vec{AB} = B - A = (-1-1,\;1-2,\;-2-3) = (-2,\,-1,\,-5).
Passo 3
Como o plano \pi é perpendicular a AB, seu vetor normal pode ser escolhido como \vec{n} = \vec{AB} = (-2,-1,-5). Como ele passa pela origem, a equação do plano é
-2x - y - 5z = 0.
Passo 4
A distância do ponto C ao plano com equação ax + by + cz + d = 0 é
\text{dist} = \frac{\bigl|a x_C + b y_C + c z_C + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Aqui temos a=-2, b=-1, c=-5 e d=0, e as coordenadas de C são (1,1,1).