(2.0 pontos) Determine o valor de k \in \mathbb{R} de modo que a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}k & 2 & -7 \\\\ 1 & k & -2 \\\\ 0 & 1 & k\end{array}\right) tenha determinante igual a 1 . Considerando esse valor de k, calcule A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k\in\mathbb{R} tal que a matriz
A=\begin{pmatrix} k & 2 & -7\\\\ 1 & k & -2\\\\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}
tenha \det A=1. Em seguida, com esse k, devemos calcular A^{-1}. Para isso vamos usar (1) a fórmula de determinante para matrizes 3\times3 e (2) o método de cofactores para encontrar a inversa.

Passo 2

Calcular \det A expandindo pela primeira linha:
\det A = k \det\begin{pmatrix}k & -2\\\ 1 & k\end{pmatrix} -2 \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 0 & k\end{pmatrix} +(-7)\det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}k & -2\\\ 1 & k\end{pmatrix}=k^2+2,\quad \det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 0 & k\end{pmatrix}=k,\quad \det\begin{pmatrix}1 & k\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1.
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\det A = k\,(k^2+2)-2\,k-7 = k^3+2k-2k-7 = k^3-7.

Passo 3

Impondo \det A=1, temos
k^3-7=1 \quad\Longrightarrow\quad k^3=8 \quad\Longrightarrow\quad k=2.

Passo 4

Substituindo k=2, a matriz fica
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -7\\\\ 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
cujo determinante confirmou ser 1. Para calcular A^{-1} usamos a matriz de cofactores C=(C_{ij}), com
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(\text{menor obtido ao remover linha }i\text{ e coluna }j).
Calculando todos os C_{ij} obtemos
C=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 1\\\\ -11 & 4 & -2\\\\ 10 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
A inversa é a transposta de C (já que \det A=1):
A^{-1}=C^{T} =\begin{pmatrix} 6 & -11 & 10\\\\ -2 & 4 & -3\\\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

k=2.
A^{-1}=\begin{pmatrix} 6 & -11 & 10\\\\ -2 & 4 & -3\\\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}.

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