(Questão 2) [2,00] Decomponha o vetor \vec{v}=4 \vec{i}-3 \vec{j}+5 \vec{k} paralela e ortogonalmente ao plano
\pi:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\\ y=-2+\lambda(\lambda, \mu \in \mathbb{R}) \\\ z=\lambda-\mu \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=4\,\vec{i}-3\,\vec{j}+5\,\vec{k}\) e o plano \(\pi\) parametrizado por \[\begin{cases} x=1,\\\ y=-2+\lambda,\\\ z=\lambda-\mu, \end{cases} \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.
Queremos escrever
\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp},
onde \vec{v}_{\parallel}\] é paralelo ao plano e \(\vec{v}_{\perp} é ortogonal ao plano. Para isso, vamos precisar dos vetores diretores do plano, do seu vetor normal e da fórmula de projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Passo 2

Da parametrização identificamos dois vetores diretores do plano:
\vec{a} = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial \lambda} = (0,1,1), \qquad \vec{b} = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial \mu} = (0,0,-1).
O vetor normal ao plano é
\vec{n} = \vec{a}\times \vec{b} = \det\begin{pmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} = (-1,0,0).
Podemos usar igualmente \vec{n}=(1,0,0), pois inverter o sinal não altera a direção.

Passo 3

A componente ortogonal de \vec{v} ao plano é a projeção de \vec{v} sobre \vec{n}, dada por
\vec{v}_{\perp} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Escolhendo \vec{n}=(1,0,0), temos \vec{v}\cdot\vec{n}=4 e \vec{n}\cdot\vec{n}=1, logo
\vec{v}_{\perp} = \frac{4}{1}\,(1,0,0) = (4,0,0) =4\,\vec{i}.

Passo 4

A componente paralela ao plano é o que resta de \vec{v} após remover \vec{v}_{\perp}:
\vec{v}_{\parallel} = \vec{v}-\vec{v}_{\perp} =(4,-3,5)-(4,0,0) =(0,-3,5) =0\,\vec{i}-3\,\vec{j}+5\,\vec{k}.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{\parallel}=0\,\vec{i}-3\,\vec{j}+5\,\vec{k},\quad \vec{v}_{\perp}=4\,\vec{i}.

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