Seja T a rotação de ângulo theta no R^3, tendo como eixo fixo o eixo- z. Ou seja, T é o operador cuja matriz na base canônica é
(T)=(ccc cos (theta) & sen(theta) & 0 -sen(theta) & cos (theta) & 0 0 & 0 & 1 )
Mostre que o operador T não é diagonalizável quando theta neq 0, pi.
Determine os números reais a, b e c de modo que o operador linear T in L(R^3), definido por
T(x, y, z)=(x+a y+b z, 2 x+y+c z, 3 x+4 y+2 z)
seja autoadjunto.
Dica: Veja a matriz de T em relação a alguma base ortonormal do R^3.

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
Primeiro, consideramos o operador TcolonR^3toR^3 que é rotação de ângulo theta em torno do eixo z, cuja matriz na base canônica é
(T)= cos(theta) & sen(theta) & 0 -sen(theta) & cos(theta) & 0 0 & 0 & 1
Precisamos mostrar que, quando thetaneq0,pi, esse operador não é diagonalizável sobre R.
Depois, temos um segundo operador linear T dado por
T(x,y,z)=(x+a,y+b,z,;2x+y+c,z,;3x+4y+2z)
e queremos achar a,b,cinR tais que T seja autoadjunto no R^3 com o produto interno canônico.
Os conteúdos que vamos usar são:
  • Para diagonalização real, precisamos de três autovetores reais independentes.
  • As matrizes reais simétricas (na base ortonormal) correspondem exatamente aos operadores autoadjuntos.

Passo 2

Para a rotação em torno de temos que agir assim:
— No subespaço a matriz é
cujo polinômio característico é
As raízes são , que não são reais se .
— Já no eixo , o vetor satisfaz , logo é autovalor real simples.
Assim, quando só há um autovalor real ( ) com multiplicidade algébrica 1 e não se consegue obter três autovetores reais independentes. Logo não é diagonalizável sobre .

Passo 3

Agora considere o segundo operador na base canônica ortonormal. Sua matriz é
M= 1 & a & b 2 & 1 & c 3 & 4 & 2
Para T ser autoadjunto, M deve ser simétrica, isto é, M=M^T. Então comparamos entradas:
M12=a deve igualar M21=2,
M13=b deve igualar M31=3,
M23=c deve igualar M32=4.

Passo 4

Das igualdades acima obtemos
a=2, b=3, c=4

Resposta

a=2,;b=3,;c=4.

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