Seja a rotação de ângulo no , tendo como eixo fixo o eixo- . Ou seja, é o operador cuja matriz na base canônica é
Mostre que o operador T não é diagonalizável quando theta neq 0, pi.
Passo 1
Estamos lidando com o operador linear de rotação T em R^3 em torno do eixo z de ângulo theta. O objetivo é verificar se T admite uma base de autovetores reais, ou seja, se é diagonalizável sobre R. Para isso vamos calcular o polinômio característico de T, achar seus autovalores e ver quantos autovetores reais independentes ele possui.
Quando thetaneq0,pi temos sinthetaneq0, logo lambda2,3 são complexos não reais. Assim, em R^3 só existe um autovalor real (lambda=1), com espaço próprio unidimensional (direção do eixo z).
Passo 4
Para diagonalizar sobre R precisaríamos de três autovetores reais independentes, mas só há um. Portanto não existe base real de autovetores e T não é diagonalizável em R^3 sempre que thetaneq0,pi.