Seja T a rotação de ângulo theta no R^3, tendo como eixo fixo o eixo- z. Ou seja, T é o operador cuja matriz na base canônica é
(T)=(ccc cos (theta) & sen(theta) & 0 -sen(theta) & cos (theta) & 0 0 & 0 & 1 )
Mostre que o operador T não é diagonalizável quando theta neq 0, pi.

Passo 1

Estamos lidando com o operador linear de rotação T em R^3 em torno do eixo z de ângulo theta. O objetivo é verificar se T admite uma base de autovetores reais, ou seja, se é diagonalizável sobre R. Para isso vamos calcular o polinômio característico de T, achar seus autovalores e ver quantos autovetores reais independentes ele possui.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
T = cos(theta) & sin(theta) & 0 -sin(theta) & cos(theta) & 0 0 & 0 & 1
O polinômio característico é
detl(T - lambda Ir) =det cos(theta)-lambda & sin(theta) & 0 -sin(theta) & cos(theta)-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda
Como a parte 2times2 e o bloco (1-lambda) são independentes,
detl(T-lambda Ir) =(1-lambda),det cos(theta)-lambda & sin(theta) -sin(theta) & cos(theta)-lambda
E esse determinante 2times2 é
(costheta-lambda)^2 -(-sintheta)(sintheta) =(costheta-lambda)^2+sin^2theta =lambda^2 -2lambdacostheta +1
Logo o polinômio característico fica
det(T-lambda I) =(1-lambda)l(lambda^2 -2lambdacostheta +1r)

Passo 3

Os autovalores de T são as raízes de
(1-lambda)(lambda^2 -2lambdacostheta +1)=0
Daí
lambda1 = 1, lambda2,3 =costhetapmraizcos^2theta-1 =costhetapm isintheta
Quando thetaneq0,pi temos sinthetaneq0, logo lambda2,3 são complexos não reais. Assim, em R^3 só existe um autovalor real ( lambda=1), com espaço próprio unidimensional (direção do eixo z).

Passo 4

Para diagonalizar sobre R precisaríamos de três autovetores reais independentes, mas só há um. Portanto não existe base real de autovetores e T não é diagonalizável em R^3 sempre que thetaneq0,pi.

Resposta

T não é diagonalizável quando thetaneq0,pi.

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