Dada a base (e1, e2, u), onde e1 e e2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor e3 tal que ( e1, e2, e3 ) é uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e1 e e2 que são unitários e ortogonais, e um terceiro vetor u que não pertence ao subespaço gerado por e1,e2. Queremos completar a base ortonormal usando o método de Gram–Schmidt, isto é, encontrar e3 unitário e ortogonal a e1 e e2.

Passo 2

Calculemos as projeções de u sobre e1 e e2. Como e1 e e2 são unitários e ortogonais, temos
proje1u = (ucdote1),e1, proje2u = (ucdote2),e2

Passo 3

Subtraímos essas projeções de u para obter um vetor w ortogonal a e1 e e2:
w ;=;u ;-; (ucdote1),e1 ;-;(ucdote2),e2

Passo 4

Por fim, normalizamos w para obter e3 unitário:
e3 = w|w| = u - (ucdote1),e1 - (ucdote2),e2 l|u - (ucdote1),e1 - (ucdote2),e2r|

Resposta

e3 = u - (ucdote1),e1 - (ucdote2),e2 l|u - (ucdote1),e1 - (ucdote2),e2r|

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