Suponha que E=(e1, e2, e3) e F=(e1, e2, u) são bases de orientação oposta. Mostre que, se e3 / / u então existe lambda<0 tal que u=lambda e3. Conclua que u=-e3 se |u|=|e3|.

Passo 1

O enunciado diz que E=(vec e1,vec e2,vec e3) e F=(vec e1,vec e2,vec u) são bases de orientações opostas e que vec u é paralelo a vec e3. O conteúdo aqui é a definição de orientação via determinante e sua multilinearidade.

Passo 2

Duas bases têm orientação oposta quando o determinante da matriz de mudança de E para F é negativo. Como as colunas dessa matriz são as coordenadas de vec e1,vec e2,vec u em E, temos
detl(vec e1,vec e2,vec ur)<0

Passo 3

Como vec u é paralelo a vec e3, existe lambdain R tal que
vec u = lambda,vec e3
Pela multilinearidade do determinante,
det(vec e1,vec e2,vec u) =det(vec e1,vec e2,lambda,vec e3) =lambda,det(vec e1,vec e2,vec e3)
Escolhendo a orientação de E de modo que det(vec e1,vec e2,vec e3)>0, a desigualdade det(vec e1,vec e2,vec u)<0 implica
lambda<0

Passo 4

Se além disso |vec u|=|vec e3|, então
|vec u| = |lambda|,|vec e3| = |vec e3| Longrightarrow |lambda|=1
Como já vimos lambda<0, segue lambda=-1 e portanto
vec u = -,vec e3

Resposta

Existe lambda<0 tal que vec u=lambda,vec e3. Se ainda vale |vec u|=|vec e3|, então vec u=-vec e3.

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