Suponha que e são bases de orientação oposta. Mostre que, se então existe tal que . Conclua que se .
Passo 1
O enunciado diz que E=(vec e1,vec e2,vec e3) e F=(vec e1,vec e2,vec u) são bases de orientações opostas e que vec u é paralelo a vec e3. O conteúdo aqui é a definição de orientação via determinante e sua multilinearidade.
Passo 2
Duas bases têm orientação oposta quando o determinante da matriz de mudança de E para F é negativo. Como as colunas dessa matriz são as coordenadas de vec e1,vec e2,vec u em E, temos
detl(vec e1,vec e2,vec ur)<0
Passo 3
Como vec u é paralelo a vec e3, existe lambdain R tal que