Mostre que duas bases quaisquer em
têm a mesma orientação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dentro de um mesmo componente conectado
do espaço de todas as bases ordenadas de um espaço vetorial real
, qualquer par de bases em
define mudança de base de determinante positivo. O conteúdo que vamos usar é:
- a identificação entre bases ordenadas de
e elementos do grupo , - o fato de que
tem exatamente dois componentes conectados, correspondentes a e , - e a continuidade do determinante em
.
Passo 2
Escolha uma base de referência fixa
. Para cada base
definimos
onde
é a matriz de mudança de base de
para
. Como o determinante é função contínua em
e
é componente conectado, a composição
é contínua e nunca atinge zero (já que toda mudança de base é invertível).
Passo 3
Sejam
. Pela conectividade de
, existe um caminho contínuo
Então
é uma função contínua em
que não muda de sinal (pois nunca é zero). Em particular,
têm o mesmo sinal.
Passo 4
A mudança de base direta de
para
satisfaz
logo
Como
e
têm o mesmo sinal, a razão também é positiva:
Resposta
Duas bases quaisquer
sempre satisfazem
,
logo têm a mesma orientação.
logo têm a mesma orientação.