Mostre que duas bases quaisquer em B têm a mesma orientação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dentro de um mesmo componente conectado B do espaço de todas as bases ordenadas de um espaço vetorial real V, qualquer par de bases em B define mudança de base de determinante positivo. O conteúdo que vamos usar é:
  • a identificação entre bases ordenadas de V e elementos do grupo GL(n,R),
  • o fato de que GL(n,R) tem exatamente dois componentes conectados, correspondentes a det>0 e det<0,
  • e a continuidade do determinante em GL(n,R).

Passo 2

Escolha uma base de referência fixa B0inB. Para cada base BinB definimos
f(B);=;detl(TB0to Br),
onde TB0to B é a matriz de mudança de base de B0 para B. Como o determinante é função contínua em GL(n,R) e B é componente conectado, a composição
B;longmapsto;TB0to B;longmapsto;detl(TB0to Br)
é contínua e nunca atinge zero (já que toda mudança de base é invertível).

Passo 3

Sejam B1,B2inB. Pela conectividade de B, existe um caminho contínuo
gammacolon[0,1];longrightarrow;B, gamma(0)=B1, gamma(1)=B2
Então tmapsto fl(gamma(t)r) é uma função contínua em [0,1] que não muda de sinal (pois nunca é zero). Em particular,
fl(gamma(0)r);=;f(B1) e fl(gamma(1)r);=;f(B2)
têm o mesmo sinal.

Passo 4

A mudança de base direta de B1 para B2 satisfaz
TB1to B2 ;=; TB0to B2,l(TB0to B1r)^-1,
logo
detl(TB1to B2r) ;=; detl(TB0to B2r)detl(TB0to B1r) ;=; f(B2)f(B1)
Como f(B2) e f(B1) têm o mesmo sinal, a razão também é positiva:
detl(TB1to B2r)>0

Resposta

Duas bases quaisquer B1,B2inB sempre satisfazem
det(TB1to B2)>0,
logo têm a mesma orientação.

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