Suponha que E=(e1, e2, e3). Em cada caso decida se F in A ou F in B, sendo F=(f1, f2, f3) :
(a) f1 & =-e1+e2-2 e3 f2 & =-2 e1+e2 f3 & =e1+e3
e1=-2 f1

Passo 1

O enunciado dá uma base de referência
,E=(vec e1,vec e2,vec e3)
e nos pede, para o tripé
,F=(vec f1,vec f2,vec f3) definido por
vec f1=-vec e1+vec e2-2vec e3, vec f2=-2vec e1+vec e2, vec f3=vec e1+vec e3,
decidir se F pertence ao conjunto A (bases com mesma orientação de E) ou a B (bases com orientação oposta). Para isso precisamos:
  1. Verificar que F é de fato uma base (determinante da matriz de mudança é não nulo).
  2. Ver o sinal desse determinante: positivo Rightarrow Fin A, negativo Rightarrow Fin B.

Passo 2

Montamos a matriz de mudança de base de E para F, cujas colunas são as coordenadas de vec fi em relação a E:
M = -1 & -2 & 1 ;1 & ;1 & 0 -2 & ;0 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de M por expansão de primeira linha:
det M = (-1),(1cdot1 - 0cdot0) -(-2),(1cdot1 - 0cdot(-2)) + 1,(1cdot0 - 1cdot(-2))
Isso dá
det M = -1 -(-2)cdot1 + 1cdot2 = -1 +2 +2 = 3

Passo 4

Como det M = 3neq0, F é de fato uma base, e como det M>0 a orientação de F coincide com a de E. Logo Fin A.

Resposta

Fin A.

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