Dada a base
em que
é uma base ortonormal, encontre as componentes covariantes e contravariantes do vetor que liga a origem ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá uma base não ortonormal
e pede as componentes contravariantes
e covariantes
do vetor
Sabemos que
– as componentes contravariantes são os coeficientes na expansão
,
– as componentes covariantes são dadas pelo produto interno
.
– as componentes contravariantes
– as componentes covariantes
Passo 2
Para achar
Da terceira coordenada vem
Das duas primeiras coordenadas resolvemos o sistema em
:
Subtraindo a primeira da segunda vezes (-1] obtemos
e então
e então
Passo 3
Logo, as componentes contravariantes são
Passo 4
Agora calculamos as covariantes por
Fazendo cada produto:
Resposta
Componentes contravariantes:
Componentes covariantes: