Dada a base
e1=-4 i1+2 i2, e2=3 i1+3 i2, e3=2 i3
em que i1, i2, i3 é uma base ortonormal, encontre as componentes covariantes e contravariantes do vetor que liga a origem ao ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma base não ortonormal
e1 = -4,i1 + 2,i2, e2 = 3,i1 + 3,i2, e3 = 2,i3
e pede as componentes contravariantes v^i e covariantes vi do vetor
v = (1,1,1) = 1,i1 + 1,i2 + 1,i3
Sabemos que
– as componentes contravariantes v^i são os coeficientes na expansão
v = v^1e1 + v^2e2 + v^3e3,
– as componentes covariantes vi são dadas pelo produto interno
vi = vcdotei.

Passo 2

Para achar
Da terceira coordenada vem
Das duas primeiras coordenadas resolvemos o sistema em :
Subtraindo a primeira da segunda vezes (-1] obtemos

e então

Passo 3

Logo, as componentes contravariantes são
v^1 = 0, v^2 = tfrac13, v^3 = tfrac12

Passo 4

Agora calculamos as covariantes por
vi = vcdotei
Fazendo cada produto:
v1 = (1,1,1)cdot(-4,2,0) = -4 + 2 + 0 = -2,
v2 = (1,1,1)cdot(3,3,0) = 3 + 3 + 0 = 6,
v3 = (1,1,1)cdot(0,0,2) = 2

Resposta

Componentes contravariantes:
(v^1,v^2,v^3) = l(0,tfrac13,tfrac12r)
Componentes covariantes:
(v1,v2,v3) = (-2,,6,,2)

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