Prove as seguintes identidades para o símbolo de Levi-Civita varepsiloni j k,
varepsiloni j k=c +1 se (i, j, k)=(1,2,3),(3,1,2),(2,3,1) -1 se (i, j, k)=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3) 0 se i=j, ou i=k, ou j=k
varepsiloni j k varepsilonl m n=|cccde

Passo 1

O enunciado define o símbolo de Levi–Civita varepsiloni j k e pede para provar a identidade de contração
varepsiloni j k,varepsilonl m n= de
Para isso vamos usar a definição de determinante em termos do símbolo de Levi–Civita e as propriedades do delta de Kronecker.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer matriz A=(Ap a) de ordem 3, vale
det A = suma,b,c=1^3 varepsilona b c,A1 a,A2 b,A3 c
Aqui vamos montar uma matriz M cujas linhas são rotuladas por i,j,k e colunas por l,m,n, com entrada
Mpalpha=de

Passo 3

Aplicamos a fórmula do determinante a M:
det M=suma,b,c=1^3varepsilona b c,de
onde (alpha1,alpha2,alpha3)=(l,m,n).

Passo 4

Como de só é não-zero se (alphaa,alphab,alphac)=(i,j,k), existe exatamente uma permutação (a,b,c)in S3 que faz isso, e nesse caso o produto dos deltas vale 1.

Passo 5

Essa permutação (a,b,c) é justamente aquela que leva (l,m,n) em (i,j,k). Seu sinal é varepsilona b c, e definindo
kappa:,(l,m,n)mapsto(i,j,k),
não é difícil ver usando a propriedade de permutações que
varepsilona b c=varepsiloni j k,varepsilonl m n
Logo
det M=varepsiloni j k,varepsilonl m n,
do jeito que a gente queria.

Passo 6

Como det M é exatamente o determinante da matriz de deltas que aparece no enunciado, concluímos que
varepsiloni j k,varepsilonl m n= de
como era para provar.

Passo 7

Terminamos a demonstração usando apenas a definição de determinante e as propriedades do delta de Kronecker, sem recorrer a casos separados.

Resposta

A identidade está provada:
varepsiloni j k,varepsilonl m n= de

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