Determine a solução das equações abaixo em série de potências de
, em torno de
. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O objetivo é encontrar a solução dessa equação em forma de série de potências de
ao redor de
e determinar um intervalo onde essa solução é válida.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, derivadas de séries e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes que definem a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
para substituir na equação diferencial. Calculando a primeira e a segunda derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Para facilitar a comparação, vamos reindexar o primeiro somatório para que todas as séries tenham
. Fazemos isso substituindo
por
no termo de
:
Agora, nossa equação fica:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
no intervalo de convergência, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos resolver as relações de recorrência encontradas.
Primeiro, para
:
Para
:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
:
-
-
. Calculando e substituindo :
Agora, podemos calcular os coeficientes subsequentes:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Passo 7
Agora, podemos escrever a solução
usando os coeficientes encontrados:
Substituindo os valores de
:
Isso representa a solução em série de potências para a equação diferencial dada.
Resposta
A solução da equação diferencial em série de potências ao redor de
é:
Essa série converge no intervalo onde os termos se tornam insignificantes, que, neste caso, é para todo
real, ou seja, o intervalo de validade é
.