Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x0=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + x y' + 2 y = 0
com as condições iniciais y(0) = 4 e y'(0) = -1 . O objetivo é encontrar a solução dessa equação em forma de série de potências de x ao redor de x0 = 0 e determinar um intervalo onde essa solução é válida.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências, derivadas de séries e como substituir essas séries na equação diferencial para encontrar os coeficientes que definem a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x0 = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y(x) para substituir na equação diferencial. Calculando a primeira e a segunda derivadas:
Primeira derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Segunda derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Vamos substituir y(x) , y'(x) e y''(x) na equação diferencial:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 + x sumn=1^infty n an x^n-1 + 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Simplificando cada termo:
  1. y'' :
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
  1. x y' :
x sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=1^infty n an x^n
  1. 2 y :
2 sumn=0^infty an x^n

Passo 5

Para facilitar a comparação, vamos reindexar o primeiro somatório para que todas as séries tenham x^n . Fazemos isso substituindo n por n+2 no termo de y'' :
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n
Agora, nossa equação fica:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=1^infty n an x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x no intervalo de convergência, os coeficientes de cada potência de x^n devem ser iguais a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Para n = 0 :
2 cdot 1 cdot a2 x^0 + 2 a0 x^0 = 0 Rightarrow 2 a2 + 2 a0 = 0
Para n >= 1 :
(n+2)(n+1) an+2 + n an + 2 an = 0 Rightarrow (n+2)(n+1) an+2 + (n + 2) an = 0

Passo 6

Vamos resolver as relações de recorrência encontradas.
Primeiro, para n = 0 :
2 a2 + 2 a0 = 0 Rightarrow a2 = -a0
Para n >= 1 :
(n+2)(n+1) an+2 + (n + 2) an = 0 Rightarrow an+2 = -ann+1
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar a0 e a1 :
  1. y(0) = 4 Rightarrow a0 = 4
  2. y'(0) = -1 . Calculando y'(x) e substituindo x = 0 :
y'(0) = a1 = -1
Agora, podemos calcular os coeficientes subsequentes:
  • a2 = -a0 = -4
  • a3 = -a12 = --12 = 12
  • a4 = -a23 = --43 = 43
  • a5 = -a34 = -1/24 = -18
  • E assim por diante…

Passo 7

Agora, podemos escrever a solução y(x) usando os coeficientes encontrados:
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5 + cdots
Substituindo os valores de an :
y(x) = 4 - x - 4 x^2 + 12 x^3 + 43 x^4 - 18 x^5 + cdots
Isso representa a solução em série de potências para a equação diferencial dada.

Resposta

A solução da equação diferencial em série de potências ao redor de x0 = 0 é:
y(x) = 4 - x - 4 x^2 + 12 x^3 + 43 x^4 - 18 x^5 + cdots
Essa série converge no intervalo onde os termos se tornam insignificantes, que, neste caso, é para todo x real, ou seja, o intervalo de validade é -infty < x < infty .

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