Determine a solução das equações abaixo em série de potências de
, em torno de
. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ - x y = 0 $ e precisa encontrar a solução dessa equação usando uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $. Ou seja, vamos desenvolver $ y $ como uma soma de potências de $ x $. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as séries de potências e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências de $ x $. Ou seja:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $ para substituir na equação diferencial.
Passo 3
Calculando a primeira e a segunda derivada de $ y $:
Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação $ y’’ - x y = 0 $:
Passo 4
Vamos ajustar os índices para termos semelhantes. No primeiro somatório, fazemos uma mudança de índice $ m = n - 2 $:
No segundo somatório, multiplicamos $ x $ dentro da série:
Agora, reescrevendo a equação:
Para que isso valha para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Passo 5
Vamos resolver a relação de recorrência:
Isso nos permite expressar os coeficientes futuros em termos dos anteriores. Começando com $ m = 0 $:
Como $ a_{-1} $ não existe, assumimos $ a_{-1} = 0 $, então $ a_2 = 0 $.
Para $ m = 1 $:
E assim por diante. Podemos continuar esse processo para encontrar todos os coeficientes em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $, que são as constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação $ y’’ - x y = 0 $ em série de potências em torno de $ x_0 = 0 $ é:
Essa série converge para todo número real $ x $, ou seja, o intervalo de validade é $ -\infty < x < \infty $.