Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x0=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^prime prime-x y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ - x y = 0 $ e precisa encontrar a solução dessa equação usando uma série de potências em torno de $ x_0 = 0 $. Ou seja, vamos desenvolver $ y $ como uma soma de potências de $ x $. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as séries de potências e como aplicá-las para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências de $ x $. Ou seja:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos encontrar. Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $ para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Calculando a primeira e a segunda derivada de $ y $:
y
y'(x) = sumn=1^infty an n x^n-1
Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação $ y’’ - x y = 0 $:
y''(x) = sumn=2^infty an n (n-1) x^n-2

Passo 4

Vamos ajustar os índices para termos semelhantes. No primeiro somatório, fazemos uma mudança de índice $ m = n - 2 $:
m = n - 2
No segundo somatório, multiplicamos $ x $ dentro da série:
summ=0^infty am+2 (m+2)(m+1) x^m
Agora, reescrevendo a equação:
x
Para que isso valha para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x $ devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
sumn=0^infty an x^n+1 = summ=1^infty am-1 x^m

Passo 5

Vamos resolver a relação de recorrência:
am+2 = am-1(m+2)(m+1)
Isso nos permite expressar os coeficientes futuros em termos dos anteriores. Começando com $ m = 0 $:
m = 0
Como $ a_{-1} $ não existe, assumimos $ a_{-1} = 0 $, então $ a_2 = 0 $.
Para $ m = 1 $:
a2 = a-12 cdot 1
E assim por diante. Podemos continuar esse processo para encontrar todos os coeficientes em termos de $ a_0 $ e $ a_1 $, que são as constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação $ y’’ - x y = 0 $ em série de potências em torno de $ x_0 = 0 $ é:
y'' - x y = 0
Essa série converge para todo número real $ x $, ou seja, o intervalo de validade é $ -\infty < x < \infty $.

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