Dada f(x)=x^4+2 x^3+6 x^2+8 x+8. calcule:
f(3-i)

Passo 1

Temos a função
f(x) = x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 8x + 8
e queremos calcular f(3 - i). O método é substituir x = 3 - i e usar álgebra de números complexos, computando as potências (3 - i)^2, (3 - i)^3 e (3 - i)^4 em seguida.

Passo 2

Defina z = 3 - i. Primeiro computamos
z^2 = (3 - i)^2 = 3^2 - 2cdot3cdot i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i

Passo 3

Para z^3 usamos z^3=z^2cdot z:
z^3 = (8 - 6i)(3 - i) = 8cdot3 - 8,i - 6icdot3 + 6i^2 = 24 - 8i -18i +6(-1) = 18 - 26i

Passo 4

Para z^4 podemos usar z^4=(z^2)^2:
z^4 = (8 - 6i)^2 = 8^2 -2cdot8cdot6i + (6i)^2 =64 -96i +36(-1) =28 -96i

Passo 5

Agora substituímos em f(z):
f(3 - i) = z^4 + 2,z^3 + 6,z^2 + 8,z + 8
Calculamos termo a termo:
z^4 = 28 - 96i, 2,z^3 = 2(18 - 26i) = 36 - 52i,
6,z^2 = 6(8 - 6i) = 48 - 36i, 8,z = 8(3 - i) = 24 - 8i,
e o termo constante é 8. Somando as partes reais e imaginárias:
parte real: 28 + 36 + 48 + 24 + 8 = 144,
parte imaginária: -96 - 52 - 36 - 8 = -192.

Resposta

f(3 - i) = 144 - 192,i

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