Usando indução sobre n, prove que:
(1+x)^2 n >= 1+2 n x, para todo n in N e para todo x in R^*.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para provar, usando indução sobre n , que:
(1+x)^2n >= 1 + 2n x
para todo n in N e para todo x in R^* .
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Indução Matemática e Inequações. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o princípio da indução e manipular expressões algébricas envolvendo potências.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade vale para n = 1 .
Substituindo n = 1 na inequação:
(1+x)^2 times 1 = (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2
E do outro lado da desigualdade temos:
1 + 2 times 1 times x = 1 + 2x
Agora, comparamos as duas expressões:
1 + 2x + x^2 >= 1 + 2x
Subtraindo 1 + 2x de ambos os lados:
x^2 >= 0
Como x^2 é sempre maior ou igual a zero para qualquer x , a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum k in N , ou seja:
(1+x)^2k >= 1 + 2k x
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a desigualdade é verdadeira para k , então ela também é verdadeira para k + 1 . Ou seja, devemos mostrar que:
(1+x)^2(k+1) >= 1 + 2(k+1) x
Primeiro, vamos expandir (1+x)^2(k+1) :
(1+x)^2(k+1) = (1+x)^2k + 2 = (1+x)^2k cdot (1+x)^2
Sabemos que (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 . Substituindo na expressão:
(1+x)^2(k+1) = (1+x)^2k cdot (1 + 2x + x^2)
Usando a hipótese de indução (1+x)^2k >= 1 + 2k x :
(1+x)^2(k+1) >= (1 + 2k x)(1 + 2x + x^2)
Agora, multiplicamos os termos:
(1 + 2k x)(1 + 2x + x^2) = 1(1) + 1(2x) + 1(x^2) + 2k x(1) + 2k x(2x) + 2k x(x^2)
Simplificando:
= 1 + 2x + x^2 + 2k x + 4k x^2 + 2k x^3
Agrupando termos semelhantes:
= 1 + (2 + 2k) x + (1 + 4k) x^2 + 2k x^3
Observamos que todos os termos adicionais a 1 + 2(k+1)x são positivos (já que x in R^* e k in N ), portanto:
(1+x)^2(k+1) >= 1 + 2(k+1) x
Isso confirma que a desigualdade é válida para k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a desigualdade
(1+x)^2n >= 1 + 2n x
é verdadeira para todo n in N e para todo x in R^* .

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