Usando indução sobre
, prove que:
, para todo
e para todo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para provar, usando indução sobre
, que:
para todo
e para todo
.
Aqui, estamos trabalhando com o conteúdo de Indução Matemática e Inequações. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o princípio da indução e manipular expressões algébricas envolvendo potências.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade vale para
.
Substituindo
na inequação:
E do outro lado da desigualdade temos:
Agora, comparamos as duas expressões:
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
é sempre maior ou igual a zero para qualquer
, a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum
, ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos provar que, se a desigualdade é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, devemos mostrar que:
Primeiro, vamos expandir
:
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Usando a hipótese de indução
:
Agora, multiplicamos os termos:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Observamos que todos os termos adicionais a
são positivos (já que
e
), portanto:
Isso confirma que a desigualdade é válida para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo
e para todo
.