Mostre que
é um fator de
para todo
ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é fator do polinômio
sempre que
for ímpar. O principal instrumento aqui é o Teorema do Resto (ou Lema de Gauss) para polinômios, que diz que
divide
se e somente se
.
Passo 2
Definimos
Para ver se
divide
, basta testar
:
Como
é ímpar, temos
. Portanto
Passo 3
Como
, o Teorema do Resto garante que
é de fato um fator de
. Além disso, a fatoração completa fica
em que os sinais alternam por causa de
.