Mostre que x+a é um fator de x^n+d^n para todo n ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ,x + a é fator do polinômio ,x^n + a^n sempre que n for ímpar. O principal instrumento aqui é o Teorema do Resto (ou Lema de Gauss) para polinômios, que diz que ,x - r divide f(x) se e somente se f(r)=0.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^n + a^n
Para ver se ,x + a divide f(x), basta testar f(-a):
f(-a) = (-a)^n + a^n
Como n é ímpar, temos (-a)^n = -,a^n. Portanto
f(-a) = -,a^n + a^n = 0

Passo 3

Como f(-a)=0, o Teorema do Resto garante que ,x + a é de fato um fator de ,f(x). Além disso, a fatoração completa fica
x^n + a^n = (x + a)l(x^n-1 - x^n-2a + x^n-3a^2 - cdots - x,a^n-2 + a^n-1r),
em que os sinais alternam por causa de (-a)^k.

Resposta

,x + a é fator de ,x^n + a^n para todo n ímpar.

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