As funções seguintes são injetoras. Encontre as funções inversas de cada uma.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de funções injetoras e precisa descobrir as funções inversas delas. A matéria aqui é sobre funções e suas inversas, e vamos precisar entender o que é uma função injetora e como encontrar a função inversa passo a passo. Basicamente, pra achar a inversa, a gente troca os papéis de
e
e resolve para
.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
.
Primeiro, substituímos
por
:
Agora, trocamos
por
:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos lá:
- Subtraia 5 de ambos os lados:
- Divida ambos os lados por -10:
Então, a função inversa é:
Passo 3
Vamos para a parte (b):
.
Primeiro, substituímos
por
:
Agora, trocamos
por
:
Queremos isolar
. Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, vamos reunir os termos com
de um lado:
Finalmente, dividimos ambos os lados por
:
Então, a função inversa é:
Passo 4
Vamos para a parte (c):
.
Primeiro, substituímos
por
:
Troca
por
:
Agora, vamos isolar
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Reúni os termos com
:
Dividimos ambos os lados por
:
Então, a função inversa é:
Passo 5
Agora, a parte (d):
.
Substituímos
por
:
Troca
por
:
Isolando
:
Então, a função inversa é:
Passo 6
Vamos para a parte (e):
.
Primeiro, substituímos
por
:
Troca
por
:
Agora, vamos isolar
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Rearranjamos para
:
Como
está no intervalo
, mantemos a raiz positiva.
Então, a função inversa é:
Passo 7
Finalmente, a parte (f):
.
Substituímos
por
:
Troca
por
:
Isolando
:
- Subtraia 3 de ambos os lados:
- Multiplique ambos os lados por -1:
- Eleve ambos os lados ao quadrado:
- Adicione 2 a ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Resposta
As funções inversas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)