As funções seguintes são injetoras. Encontre as funções inversas de cada uma.
(a) f(x)=5-10 x
(b) f(x)=4 xx-2
(c) f(x)=x+53 x-1
(d) f(x)=2-x^3
(e) f(x)=raiz9-x^2, 0 <= x <= 3
(f) f(x)=3-raizx-2

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de funções injetoras e precisa descobrir as funções inversas delas. A matéria aqui é sobre funções e suas inversas, e vamos precisar entender o que é uma função injetora e como encontrar a função inversa passo a passo. Basicamente, pra achar a inversa, a gente troca os papéis de x e y e resolve para y .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): f(x) = 5 - 10x .
Primeiro, substituímos f(x) por y :
y = 5 - 10x
Agora, trocamos x por y :
x = 5 - 10y
Nosso objetivo é isolar y . Vamos lá:
  1. Subtraia 5 de ambos os lados:
x - 5 = -10y
  1. Divida ambos os lados por -10:
y = 5 - x10
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = 5 - x10

Passo 3

Vamos para a parte (b): f(x) = 4xx - 2 .
Primeiro, substituímos f(x) por y :
y = 4xx - 2
Agora, trocamos x por y :
x = 4yy - 2
Queremos isolar y . Vamos multiplicar ambos os lados por y - 2 :
x(y - 2) = 4y
xy - 2x = 4y
Agora, vamos reunir os termos com y de um lado:
xy - 4y = 2x
y(x - 4) = 2x
Finalmente, dividimos ambos os lados por x - 4 :
y = 2xx - 4
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = 2xx - 4

Passo 4

Vamos para a parte (c): f(x) = x + 53x - 1 .
Primeiro, substituímos f(x) por y :
y = x + 53x - 1
Troca x por y :
x = y + 53y - 1
Agora, vamos isolar y . Multiplicamos ambos os lados por 3y - 1 :
x(3y - 1) = y + 5
3xy - x = y + 5
Reúni os termos com y :
3xy - y = x + 5
y(3x - 1) = x + 5
Dividimos ambos os lados por 3x - 1 :
y = x + 53x - 1
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = x + 53x - 1

Passo 5

Agora, a parte (d): f(x) = 2 - x^3 .
Substituímos f(x) por y :
y = 2 - x^3
Troca x por y :
x = 2 - y^3
Isolando y :
y^3 = 2 - x
y = raiz[3]2 - x
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = raiz[3]2 - x

Passo 6

Vamos para a parte (e): f(x) = raiz9 - x^2, 0 <= x <= 3 .
Primeiro, substituímos f(x) por y :
y = raiz9 - x^2
Troca x por y :
x = raiz9 - y^2
Agora, vamos isolar y . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 = 9 - y^2
Rearranjamos para y^2 :
y^2 = 9 - x^2
y = raiz9 - x^2
Como y está no intervalo 0 <= y <= 3 , mantemos a raiz positiva.
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = raiz9 - x^2

Passo 7

Finalmente, a parte (f): f(x) = 3 - raizx - 2 .
Substituímos f(x) por y :
y = 3 - raizx - 2
Troca x por y :
x = 3 - raizy - 2
Isolando y :
  1. Subtraia 3 de ambos os lados:
x - 3 = -raizy - 2
  1. Multiplique ambos os lados por -1:
3 - x = raizy - 2
  1. Eleve ambos os lados ao quadrado:
(3 - x)^2 = y - 2
  1. Adicione 2 a ambos os lados:
y = (3 - x)^2 + 2
Então, a função inversa é:
f^-1(x) = (3 - x)^2 + 2

Resposta

As funções inversas são:
a) f^-1(x) = 5 - x10
b) f^-1(x) = 2xx - 4
c) f^-1(x) = x + 53x - 1
d) f^-1(x) = raiz[3]2 - x
e) f^-1(x) = raiz9 - x^2
f) f^-1(x) = (3 - x)^2 + 2

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