Dada uma cicloide: x=r(theta-sen(theta)) y=r(1-cos (theta))
Em que pontos a tangente é horizontal? Quando é vertical?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma cicloide definida pelas equações paramétricas x = r(theta - sin(theta)) e y = r(1 - cos(theta)). Nosso objetivo é descobrir em quais pontos a tangente a essa curva é horizontal e em quais é vertical. Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo, especificamente de derivadas em equações paramétricas, para encontrar onde a inclinação da tangente é zero (horizontal) ou indefinida (vertical).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a theta. Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação da tangente em qualquer ponto da cicloide.
Calculando dxdtheta:
dxdtheta = r(1 - cos(theta))
Calculando dydtheta:
dydtheta = rsin(theta)

Passo 3

Agora, para encontrar onde a tangente é horizontal, precisamos que a inclinação dydx seja igual a zero. Como dydx = dydthetadxdtheta , isso acontece quando dydtheta = 0 .
Então, igualamos dydtheta a zero:
rsin(theta) = 0
sin(theta) = 0
Isso ocorre quando theta = 0, pi, 2pi, ldots, ou seja, para theta = npi, onde n é um número inteiro.

Passo 4

Para encontrar onde a tangente é vertical, precisamos que a inclinação dydx seja indefinida, o que acontece quando dxdtheta = 0 e dydtheta neq 0 .
Então, igualamos dxdtheta a zero:
r(1 - cos(theta)) = 0
1 - cos(theta) = 0
cos(theta) = 1
Isso ocorre quando theta = 0, 2pi, 4pi, ldots, ou seja, para theta = 2npi, onde n é um número inteiro.

Resposta

A tangente à cicloide é horizontal para theta = npi e vertical para theta = 2npi, onde n é um número inteiro.

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