Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral x^2-2 x+2x^3-3 x^2+6 x-15 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2-2x+2x^3-3x^2+6x-15,dx
usando o método de substituição. Vamos identificar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Observamos que o denominador
x^3-3x^2+6x-15
é uma função cuja derivada está relacionada ao numerador. Definimos
u = x^3-3x^2+6x-15

Passo 3

Calculamos du. Derivando u em relação a x,
dudx = 3x^2-6x+6 = 3(x^2-2x+2),
portanto
du = 3(x^2-2x+2),dx

Passo 4

Reescrevemos o numerador em termos de du:
(x^2-2x+2),dx = 13,du
Assim, a integral original transforma-se em
integral x^2-2x+2x^3-3x^2+6x-15,dx = integral 1u,13,du = 13integral 1u,du

Passo 5

Integramos em u:
13integral 1u,du = 13lnlvert urvert + C
Voltando à variável x, obtemos
13lnllvert x^3-3x^2+6x-15rrvert + C

Resposta

integral x^2-2x+2x^3-3x^2+6x-15,dx = 13lnllvert x^3-3x^2+6x-15rrvert + C

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