Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral e^4 / yy^2 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^4/yy^2 , dy usando o método de substituição. Esse método é bem útil quando conseguimos simplificar uma integral complicada transformando-a em uma forma mais fácil de resolver. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável nova, o que facilitará a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o expoente da função exponencial. Vamos definir:
u = 4y
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a y, ou seja, du/dy, para substituir dy na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
u = 4y
dudy = -4y^2
Rearranjando para encontrar dy:
dy = -y^24 , du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dy na integral original:
integral e^4/yy^2 , dy = integral e^u cdot 1y^2 cdot (-y^24) , du
Simplificando os termos:
= integral e^u cdot (-14) , du
= -14 integral e^u , du

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então:
-14 integral e^u , du = -14 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos substituir u de volta em termos de y:
u = 4y
-14 e^u + C = -14 e^4/y + C

Resposta

A integral integral e^4/yy^2 , dy é igual a:
-14 e^4/y + C
Onde C é a constante de integração.

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