Em toda curva exponencial y=b^x(com b>0, b neq 1), existe exatamente um ponto (x0, y0) tal que a reta tangente nesse ponto passa pela origem. Mostre que, em todos os casos, y0=e. [Dica: caso deseje, você pode usar a Fórmula 1.5.10.]

Passo 1

O enunciado considera a família de curvas exponenciais
y = b^x, b>0,;bneq1,
e afirma que existe um único ponto l(x0,y0r) cuja reta tangente passa pela origem. Nossa tarefa é encontrar esse ponto e mostrar que, para todo b, o valor de y0 é e.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função y=b^x. Usando a regra de derivação de exponenciais, temos
dydx = b^x ln b
Assim, no ponto l(x0,y0r), o coeficiente angular da reta tangente é
m = b^x0ln b

Passo 3

A equação da reta tangente em l(x0,y0r) é
y - y0 = m,(x - x0),
ou seja,
y - b^x0 = l(b^x0ln br),(x - x0)

Passo 4

Para que essa reta passe pela origem (0,0), basta que ao substituir x=0 e y=0 na equação da reta ela seja satisfeita. Substituindo, obtemos
0 - b^x0 = l(b^x0ln br),(0 - x0) Longrightarrow -b^x0 = -,b^x0,ln b;x0
Cancelando o fator -,b^x0 (que é não nulo pois b>0), vem
1 = x0ln b Longrightarrow x0 = 1ln b

Passo 5

Agora calculamos o valor de y0=b^x0:
y0 = b^,1/ln b = e^lnl(b^1/ln br) = e^(1/ln b),ln b = e^1 = e

Resposta

Em todas as curvas y=b^x (com b>0, bneq1), o único ponto cuja reta tangente passa pela origem tem ordenada
y0 = e

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