Em toda curva exponencial
, existe exatamente um ponto
tal que a reta tangente nesse ponto passa pela origem. Mostre que, em todos os casos,
. [Dica: caso deseje, você pode usar a Fórmula 1.5.10.]
Passo 1
O enunciado considera a família de curvas exponenciais
e afirma que existe um único ponto
cuja reta tangente passa pela origem. Nossa tarefa é encontrar esse ponto e mostrar que, para todo
, o valor de
é
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. Usando a regra de derivação de exponenciais, temos
Assim, no ponto
, o coeficiente angular da reta tangente é
Passo 3
A equação da reta tangente em
é
ou seja,
Passo 4
Para que essa reta passe pela origem
, basta que ao substituir
e
na equação da reta ela seja satisfeita. Substituindo, obtemos
Cancelando o fator
(que é não nulo pois
), vem
Passo 5
Agora calculamos o valor de
:
Resposta
Em todas as curvas
(com
,
), o único ponto cuja reta tangente passa pela origem tem ordenada