Determine o comprimento da curva dada pelas equações parametricas, do ponto A ao ponto B.
x=2 t-sin 2 t, y=1-cos 2 t ; A=(0,0), B=(2 pi, 0)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
x(t)=2t-sin 2t,
y(t)=1-cos 2t
do ponto A=(0,0) até o ponto B=(2pi,0).
O conteúdo é comprimento de curva em parametrização, cuja fórmula é
L = integralt1^t2 raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Precisamos achar os valores de t que geram A e B.
Para A=(0,0):
x=0 implies 2t-sin2t=0, y=0implies1-cos2t=0 Rightarrow cos2t=1
A solução mais simples é t=0.
Para B=(2pi,0):
x=2piimplies2t-sin2t=2pi, y=0impliescos2t=1
t=pi.
Logo, vamos integrar de t1=0 até t2=pi.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t).
x'(t)=ddtl(2t-sin2tr)=2-2cos2t,
y'(t)=ddtl(1-cos2tr)=2sin2t

Passo 4

Montar o integrando
l(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2 =(2-2cos2t)^2 + (2sin2t)^2
Expandindo e usando 1-cos2t=2sin^2t:
(2-2cos2t)^2 =4(1-cos2t)^2, (2sin2t)^2=4sin^2 2t,
4(1-cos2t)^2 +4sin^2 2t =4l((1-cos2t)^2+sin^2 2tr) =4l(2-2cos2tr) =8(1-cos2t) =16sin^2t
Portanto
raiz(x')^2+(y')^2 =raiz16sin^2t =4|sin t|
e, em 0<= t<=pi, tem sin t>=0, logo o integrando é 4sin t.

Passo 5

Calcular o comprimento
L = integral0^pi4sin t,dt =4l[-cos tr]0^pi =4l((-cospi)-(-cos0)r) =4l(1+1r) =8

Resposta

O comprimento da curva de A a B é 8.

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