Dada a circunferência x^2+y^2=5, determinar os valores de k para os quais a família de retas x-2 y+k=0 é tangente à circunferência dada.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2=5
que tem centro em (0,0) e raio r=raiz5, e a família de retas
x - 2y + k = 0
Queremos achar os valores de k para os quais cada reta é tangente à circunferência.

Passo 2

Lembrando que a distância de um ponto (x0,y0) à reta
a x + b y + c = 0
é
d = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2+b^2
No nosso caso, a=1, b=-2 e c=k.

Passo 3

O centro da circunferência é (0,0), logo
d = l|1cdot 0 + (-2)cdot 0 + kr|raiz1^2+(-2)^2 =|k|raiz5

Passo 4

Para que a reta seja tangente à circunferência, essa distância deve ser igual ao raio, isto é,
|k|raiz5 = raiz5

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por raiz5 vem
|k| = 5
e, portanto,
k = 5 ou k = -5

Resposta

k = 5 ou k = -5.

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