Determinar as equações das retas tangentes à circunferência 4 x^2+4 y^2+8 x+4 y-47=0 que tenham coeficiente angular m=-3 / 2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos as equações das retas de coeficiente angular m=-tfrac32 que sejam tangentes à circunferência
4x^2+4y^2+8x+4y-47=0
O conteúdo é geometria analítica de circunferência e reta, e vamos precisar obter o centro e o raio da circunferência e usar a condição de tangência via distância do centro à reta.

Passo 2

Colocamos a circunferência na forma padrão dividindo por 4 e completando quadrados:
x^2+y^2+2x+y-tfrac474=0 ;Longrightarrow; (x+1)^2-1+(y+tfrac12)^2-tfrac14-tfrac474=0
Longrightarrow;(x+1)^2+(y+tfrac12)^2=13
Logo o centro é l(-1,-tfrac12r) e o raio é R=raiz13.

Passo 3

A reta genérica de coeficiente angular m=-tfrac32 é
y=-tfrac32,x+b
Em forma geral Ax+By+C=0 temos
2y=-3x+2b ;Longrightarrow; 3x+2y-2b=0,
ou seja A=3, B=2, C=-2b.

Passo 4

A condição de tangência exige que a distância do centro l(x0,y0r)=l(-1,-tfrac12r) à reta seja igual a R.
l|A x0+B y0+Cr|raizA^2+B^2 =l|3(-1)+2(-tfrac12)-2br|raiz9+4 =l|-3-1-2br|raiz13 =|,2b+4,|raiz13
Deve ser igual a raiz13, daí
|,2b+4,|raiz13=raiz13 ;Longrightarrow; |,2b+4,|=13 ;Longrightarrow; 2b+4=pm13
Longrightarrow; b=92 ou b=-172

Resposta

As duas retas são
y=-tfrac32,x+92 e y=-tfrac32,x-172

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