Determinar a equação da reta tangente à circunferência x^2+y^2-2 x-6 y-3=0 no ponto P=(-1,6)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à circunferência
x^2+y^2-2x-6y-3=0
no ponto P=(-1,6). Vamos usar geometria analítica: a reta tangente é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência a P.

Passo 2

Reescrevemos a equação da circunferência completando quadrados:
x^2-2x + y^2-6y-3 = (x-1)^2-1 + (y-3)^2-9 -3 = (x-1)^2+(y-3)^2-13,
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(x-1)^2+(y-3)^2=13
Dessa forma, o centro é C=(1,3). Substituindo P=(-1,6) em x^2+y^2-2x-6y-3 obtemos 0, confirmando que P está na circunferência.

Passo 3

O coeficiente angular do raio CP é
mr = 6-3-1-1 = -32
Como a reta tangente é perpendicular, seu coeficiente angular é
mt = -1mr = 23

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente em P=(-1,6):
y-6 = tfrac23(x+1)
Passando para a forma geral:
y-6 = tfrac23x + tfrac23 Longrightarrow 3y -18 = 2x +2 Longrightarrow 2x -3y +20 = 0

Resposta

A equação da reta tangente é
2x - 3y + 20 = 0,
ou, equivalentemente,
y = tfrac23x + tfrac203

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