Sabendo que |llla & b & c d & e & f g & h & i|=3, calcule os determinantes a seguir.
|cccd & e & f g & h & i a & b & c|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um determinante de uma matriz 3x3 que vale 3:
|ccc a & b & c d & e & f g & h & i | = 3
E precisa calcular outro determinante onde as linhas foram rearranjadas:
|ccc d & e & f g & h & i a & b & c |
Vamos usar determinantes de matrizes e propriedades das permutações de linhas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as linhas foram rearranjadas. No novo determinante, a ordem das linhas ficou assim:
  1. Segunda linha original (d, e, f)
  2. Terceira linha original (g, h, i)
  3. Primeira linha original (a, b, c)
Isso significa que fizemos duas trocas de linhas para chegar nessa nova ordem.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma regra importante sobre determinantes: Cada vez que você troca duas linhas de uma matriz, o sinal do determinante muda. Ou seja, se você troca duas linhas, multiplica o determinante por -1.

Passo 4

No nosso caso, para ir de:
  1. Primeira linha
  2. Segunda linha
  3. Terceira linha
Para:
  1. Segunda linha
  2. Terceira linha
  3. Primeira linha
A gente fez duas trocas:
  1. Primeiro, trocamos a primeira linha com a segunda.
  2. Depois, trocamos a nova segunda linha com a terceira.
Cada troca muda o sinal, então duas trocas mudam o sinal duas vezes:
(-1) times (-1) = 1

Passo 5

Como o sinal mudou duas vezes e 1 é positivo, o valor do determinante não muda.

Resposta

O valor do determinante é 3.

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