Seja o espaço vetorial
, Defina as operações do espaço vetorial em
como as operações conhecidas de adição e multiplicação por escalar de ênuplas. ( 3,0 pontos)
- Utilize a soma usual
para as operações com adição, e utilize para multiplicação por escalar especial
.
- Utilize os Vetores
podem ser representados como
-úplas na mesma linha:
- Utilize os escalares pertencentes ao conjunto dos números reais:
.
- Realize o fechamento da soma e multiplicação por escalar e em seguida prove os 8 axiomas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre o espaço vetorial
. A gente vai usar a adição usual, que a gente chama de
, e uma multiplicação por escalar especial, chamada de
. A gente tem vetores
que são elementos de
e eles são representados como n-úplas. Além disso, temos escalares
que são números reais. Precisamos mostrar que a soma e a multiplicação por escalar fecham no espaço
e provar os 8 axiomas que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a soma usual
. Quando a gente soma dois vetores
e
em
, a soma é feita componente por componente. Ou seja,
Essa é a forma padrão de somar vetores.
Passo 3
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar especial
. Aqui, a gente multiplica cada componente do vetor por um escalar
. Então,
Isso significa que cada coordenada do vetor
é multiplicada pelo número
.
Passo 4
Vamos mostrar que a soma
é fechada em
. Isso quer dizer que se a gente soma dois vetores de
, o resultado ainda está em
. Como
e
são em
, somando componente por componente, a gente ainda tem uma n-úpla de números reais. Logo,
.
Passo 5
Agora, vamos ver a fechadura da multiplicação por escalar
. Se a gente multiplica um vetor
de
por um escalar
real, o resultado é uma n-úpla onde cada componente é um número real multiplicado por
. Portanto,
.
Passo 6
Vamos provar os 8 axiomas do espaço vetorial para
com as operações
e
.
- Comutatividade da soma:
Porque
para cada componente.
- Associatividade da soma:
Pois a soma de números reais é associativa.
- Elemento neutro da soma:
Existe um vetortal que
- Elemento inverso da soma:
Para cada, existe tal que
- Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Porque
para cada componente.
- Identidade multiplicativa:
Já que
.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Porque
.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Pois
.
Resposta
Assim, mostramos que
com as operações
e
satisfaz todos os requisitos de um espaço vetorial, comprovando o fechamento e os 8 axiomas.