Seja o espaço vetorial V=R^n, Defina as operações do espaço vetorial em V como as operações conhecidas de adição e multiplicação por escalar de ênuplas. ( 3,0 pontos)
  • Utilize a soma usual oplus para as operações com adição, e utilize para multiplicação por escalar especial odot.
  • Utilize os Vetores u, v, s in R^n podem ser representados como n-úplas na mesma linha:
u=(u1, u2, ldots, un), v=(v1, v2, ldots, vn), s=(s1, s2, ldots, sn)
  • Utilize os escalares pertencentes ao conjunto dos números reais: alpha, lambda in R.
  • Realize o fechamento da soma e multiplicação por escalar e em seguida prove os 8 axiomas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre o espaço vetorial V = R^n . A gente vai usar a adição usual, que a gente chama de oplus , e uma multiplicação por escalar especial, chamada de odot . A gente tem vetores u, v, s que são elementos de R^n e eles são representados como n-úplas. Além disso, temos escalares alpha, lambda que são números reais. Precisamos mostrar que a soma e a multiplicação por escalar fecham no espaço V e provar os 8 axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a soma usual oplus . Quando a gente soma dois vetores u e v em R^n , a soma é feita componente por componente. Ou seja,
u oplus v = (u1 + v1,, u2 + v2,, ldots,, un + vn)
Essa é a forma padrão de somar vetores.

Passo 3

Agora, vamos ver a multiplicação por escalar especial odot . Aqui, a gente multiplica cada componente do vetor por um escalar alpha . Então,
alpha odot u = (alpha cdot u1,, alpha cdot u2,, ldots,, alpha cdot un)
Isso significa que cada coordenada do vetor u é multiplicada pelo número alpha .

Passo 4

Vamos mostrar que a soma oplus é fechada em V . Isso quer dizer que se a gente soma dois vetores de V , o resultado ainda está em V . Como u e v são em R^n , somando componente por componente, a gente ainda tem uma n-úpla de números reais. Logo, u oplus v in V .

Passo 5

Agora, vamos ver a fechadura da multiplicação por escalar odot . Se a gente multiplica um vetor u de V por um escalar alpha real, o resultado é uma n-úpla onde cada componente é um número real multiplicado por alpha . Portanto, alpha odot u in V .

Passo 6

Vamos provar os 8 axiomas do espaço vetorial para V = R^n com as operações oplus e odot .
  1. Comutatividade da soma:
u oplus v = v oplus u
Porque ui + vi = vi + ui para cada componente.
  1. Associatividade da soma:
(u oplus v) oplus s = u oplus (v oplus s)
Pois a soma de números reais é associativa.
  1. Elemento neutro da soma:
    Existe um vetor 0 = (0, 0, ldots, 0) tal que
u oplus 0 = u
  1. Elemento inverso da soma:
    Para cada u , existe -u = (-u1, -u2, ldots, -un) tal que
u oplus (-u) = 0
  1. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
alpha odot (lambda odot u) = (alpha lambda) odot u
Porque alpha (lambda ui) = (alpha lambda) ui para cada componente.
  1. Identidade multiplicativa:
1 odot u = u
Já que 1 cdot ui = ui .
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
alpha odot (u oplus v) = (alpha odot u) oplus (alpha odot v)
Porque alpha (ui + vi) = alpha ui + alpha vi .
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(alpha + lambda) odot u = alpha odot u oplus lambda odot u
Pois (alpha + lambda) ui = alpha ui + lambda ui .

Resposta

Assim, mostramos que V = R^n com as operações oplus e odot satisfaz todos os requisitos de um espaço vetorial, comprovando o fechamento e os 8 axiomas.

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