Dada a circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} e um ponto ( x_{0}, y_{0} ) pertencente a ela, qual é a equação da reta que passa por \left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) e é tangente à circunferência dada?
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
x^{2}+y^{2}=r^{2}
e um ponto (x_{0},y_{0}) que pertence a ela, ou seja, satisfaz \,x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}.
Queremos a equação da reta que passa por (x_{0},y_{0}) e é tangente à circunferência.
Conteúdo: geometria analítica de círculos e retas, derivação implícita para obter o coeficiente angular da tangente.
Passo 2
Para achar a inclinação da tangente podemos usar derivação implícita em
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0
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\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
No ponto (x_{0},y_{0}) isso dá
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_{0},y_{0})} = -\frac{x_{0}}{y_{0}}.
Passo 3
Escrevendo a equação da reta no formato ponto-inclinação:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0})
substituindo m = -\tfrac{x_{0}}{y_{0}}, obtemos
y - y_{0} = -\frac{x_{0}}{y_{0}}\,(x - x_{0}).
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por y_{0} e recolocando os termos em x e y no mesmo lado:
y_{0}y - y_{0}^{2} = -x_{0}x + x_{0}^{2}
x_{0}x + y_{0}y = x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Como (x_{0},y_{0}) está na circunferência, x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}. Portanto a forma final é
x_{0}x + y_{0}y = r^{2}.
Resposta
A equação da reta tangente à circunferência x^{2}+y^{2}=r^{2} no ponto (x_{0},y_{0}) é