Determine a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=\frac{2 s^{2}+s+1}{s(s-5)(s+2)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
\displaystyle F(s)=\frac{2s^{2}+s+1}{s(s-5)(s+2)}.
Estamos no conteúdo de transformadas de Laplace e a técnica principal é a decomposição em frações parciais, seguida do uso das fórmulas conhecidas
\mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s}\}=1 e \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{at}.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{2s^{2}+s+1}{s(s-5)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-5}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando por s(s-5)(s+2) obtemos
2s^{2}+s+1 =A(s-5)(s+2)+B\,s(s+2)+C\,s(s-5).
Usando o método cover-up:
  • Em s=0: 1=-10A \Rightarrow A=-\tfrac{1}{10}.
  • Em s=5: 2\cdot25+5+1=56=35B \Rightarrow B=\tfrac{56}{35}=\tfrac{8}{5}.
  • Em s=-2: 2\cdot4-2+1=7=14C \Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
Logo
F(s)=-\tfrac{1}{10}\,\frac{1}{s}+\tfrac{8}{5}\,\frac{1}{s-5}+\tfrac{1}{2}\,\frac{1}{s+2}.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace inversa em cada fração:
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s-5}\}=e^{5t},
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s+2}\}=e^{-2t}.
Logo
f(t)=-\tfrac{1}{10}\cdot1 +\tfrac{8}{5}\,e^{5t} +\tfrac{1}{2}\,e^{-2t}.

Resposta

f(t)=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}e^{5t}+\frac{1}{2}e^{-2t}.

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