^{a} Questão. ( \mathbf{4 , 0 ~ p t s )} Calcule as integrais.
\int 2 e^{t} \cos ^{2}\left(e^{t}-2\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2e^{t}\cos^{2}\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt.
O conteúdo necessário envolve uma substituição para simplificar a parte exponencial e depois uso da identidade trigonométrica de redução para \cos^{2}u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{t} - 2, \quad du = e^{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad 2e^{t}\,dt = 2\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int 2e^{t}\cos^{2}\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt = \int 2\cos^{2}(u)\,du.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica de redução
\cos^{2}(u) = \frac{1 + \cos(2u)}{2},
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\int 2\cos^{2}(u)\,du = \int 2\cdot\frac{1 + \cos(2u)}{2}\,du = \int\bigl(1 + \cos(2u)\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int 1\,du = u, \qquad \int \cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u).
Assim,
\int\bigl(1 + \cos(2u)\bigr)\,du = u + \frac{1}{2}\sin(2u) + C.

Passo 6

Voltando à variável t pelo fato de u = e^{t}-2, concluímos
u + \frac{1}{2}\sin(2u) + C = \bigl(e^{t}-2\bigr) + \frac{1}{2}\sin\bigl(2(e^{t}-2)\bigr) + C.

Resposta

\int 2e^{t}\cos^{2}\bigl(e^{t}-2\bigr)\,dt = e^{t}-2 + \frac{1}{2}\sin\bigl(2(e^{t}-2)\bigr) + C.

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