Dada a superfície z=-x^2-y^2+6 x-4 y-4, determine:
a) a equação do plano tangente a esta superfície no ponto P(3,-2,9);

Passo 1

Temos a superfície dada por z = f(x,y), onde f(x,y) = -x^2 - y^2 + 6x - 4y - 4. Vamos encontrar o plano tangente em P(3,-2,9) usando as derivadas parciais de f.

Passo 2

Derivando f em relação a x e y:
partial fpartial x = -2x + 6 e partial fpartial y = -2y - 4.

Passo 3

Avaliar as derivadas no ponto (x0,y0)=(3,-2):
partial fpartial x(3,-2) = -2cdot3 + 6 = 0 e partial fpartial y(3,-2) = -2cdot(-2) - 4 = 0.

Passo 4

Aplicar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0)(x-x0) + fy(x0,y0)(y-y0)
Substituindo z0=9, x0=3, y0=-2 e as derivadas nulas, temos z - 9 = 0, ou seja z = 9.

Resposta

z = 9

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