Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para dado
e
, vale
para todo
.
O conteúdo principal é a definição de valor absoluto e manipulação de desigualdades.
O conteúdo principal é a definição de valor absoluto e manipulação de desigualdades.
Passo 2
Primeiro lembramos o seguinte fato, válido para todo
e
:
Demonstração resumida usando a definição de valor absoluto:
– Se e
, então
e também
, logo
.
– Se e
, então
implica
e obviamente
, logo
.
– Recíproco: se então tanto
quanto
valem, e por definição
.
– Se
– Se
– Recíproco: se
Passo 3
Basta agora aplicar esse resultado com
. Assim,
Somando
em cada parte da desigualdade obtemos