Dada uma constante r>0, e um número real a qualquer, mostre que para todo x in R,
|x-a|<r Leftrightarrow a-r<x<a+r

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para dado r>0 e ainR, vale
|x-a|<r ;Long<=ftrightarrow; a-r<x<a+r
para todo xinR.
O conteúdo principal é a definição de valor absoluto e manipulação de desigualdades.

Passo 2

Primeiro lembramos o seguinte fato, válido para todo yinR e r>0:
|y|<r ;Long<=ftrightarrow; -r<y<r
Demonstração resumida usando a definição de valor absoluto:
– Se |y|<r e y>=0, então |y|=y<r e também -r<0<= y, logo -r<y<r.
– Se |y|<r e y<0, então |y|=-y<r implica y>-r e obviamente y<r, logo -r<y<r.
– Recíproco: se -r<y<r então tanto y<r quanto -y<r valem, e por definição |y|=maxy,-y<r.

Passo 3

Basta agora aplicar esse resultado com y = x - a. Assim,
|x-a|<r ;Long<=ftrightarrow; -r < x-a < r
Somando a em cada parte da desigualdade obtemos
-r + a < x < r + a Long<=ftrightarrow a - r < x < a + r

Resposta

|x-a|<r ;Long<=ftrightarrow; a-r<x<a+r

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