Seja n>0 um inteiro e a, b, x in R. Verifique que:
a^n-b^n & =(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+a^n-3 b^2+cdots+a^2 b^n-3+a b^n-2+b^n-1) & =(a-b)(sumi=0^n-1 a^n-1-i b^i)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fatoração da diferença de potências
a^n-b^n=(a-b)sumi=0^n-1a^n-1-ib^i,
onde n>0 é inteiro e a,binR. O conteúdo é soma de progressão geométrica e telescopia de termos.

Passo 2

Definimos a soma
S=sumi=0^n-1a^n-1-ib^i
Vamos mostrar que (a-b)S=a^n-b^n.

Passo 3

Calculemos aS. Multiplicando cada termo de S por a obtemos
aS=sumi=0^n-1acdot a^n-1-ib^i =sumi=0^n-1a^n-ib^i

Passo 4

Agora calculemos bS. Multiplicando cada termo de S por b
bS=sumi=0^n-1a^n-1-ib^i+1
Fazendo a troca de índice j=i+1, quando i varia de 0 a n-1, j varia de 1 a n. Logo
bS=sumj=1^na^n-jb^j

Passo 5

Subtraindo essas somas, temos
(a-b)S = aS - bS =sumi=0^n-1a^n-ib^i -sumj=1^na^n-jb^j
Observe que em forma expandida os termos se cancelam em cascata:
a^n + a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + ab^n-1 ;-; l(a^n-1b + a^n-2b^2 + cdots + ab^n-1 + b^nr),
restando apenas a^n-b^n.

Passo 6

Concluímos então que
(a-b)S = a^n-b^n,
ou seja
a^n-b^n=(a-b)sumi=0^n-1a^n-1-ib^i

Resposta

a^n-b^n=(a-b)l(a^n-1+a^n-2b+cdots+ab^n-2+b^n-1r) =(a-b)sumi=0^n-1a^n-1-ib^i

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