Seja
um inteiro e
. Verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a fatoração da diferença de potências
onde
é inteiro e
. O conteúdo é soma de progressão geométrica e telescopia de termos.
Passo 2
Definimos a soma
Vamos mostrar que
.
Passo 3
Calculemos
. Multiplicando cada termo de
por
obtemos
Passo 4
Agora calculemos
. Multiplicando cada termo de
por
dá
Fazendo a troca de índice
, quando
varia de
a
,
varia de
a
. Logo
Passo 5
Subtraindo essas somas, temos
Observe que em forma expandida os termos se cancelam em cascata:
restando apenas
.
Passo 6
Concluímos então que
ou seja