Determine o domínio e a imagem de cada uma das seguintes funções:
g(t)=1t^2-1

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente achar o domínio e a imagem da função
g(t)=1t^2-1
Isso cai em “funções racionais” — pra resolver a gente vai precisar:
  1. Entender domínio (quais t posso colocar sem dar ruim, tipo divisão por zero).
  2. Entender imagem (quais valores de saída g(t) realmente aparecem).

Passo 2

Pra achar o domínio, a regra básica é: o denominador não pode ser zero. Então:
t^2-1neq 0 Longrightarrow t^2neq 1 Longrightarrow tneq 1,;-1
Logo o domínio é
Rsetminus-1,1

Passo 3

Agora a imagem. A ideia é definir y=g(t) e ver pra quais y há uma solução real em t.
  1. Começa assim:
y=1t^2-1 ;Longrightarrow; y,(t^2-1)=1 ;Longrightarrow; y,t^2 - y - 1 = 0
  1. Resolver pra t^2:
y,t^2 = y+1 Longrightarrow t^2 = y+1y,
desde que yneq0.
3) Como t^2>=0, precisamos que
y+1y;>=;0
Analisando o sinal de y+1y:
  • Se y<-1, então y+1<0 e y<0 → quociente positivo. OK.
  • Se -1<y<0, aí y+1>0 e y<0 → quociente negativo. Não rola.
  • Se y>0, então y+1>0 e y>0 → quociente positivo. OK.
Além disso, y=0 não entra (1 dividido nunca dá zero). Em y=-1 temos -1+1-1=0, então t^2=0 t=0, que está no domínio, logo y=-1 entra.
Conclusão da imagem:
yin(-infty,-1];cup;(0,infty)

Resposta

Domínio: Rsetminus-1,1
Imagem: (-infty,-1];cup;(0,infty)

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