Dada a curva em , achar no ponto em que ;
a equação do plano osculador,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano osculador da curva dada por , , no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular a posição, a primeira e a segunda derivadas da curva para achar as direções importantes que definem o plano osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Basta substituir nas equações:
Então, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos das derivadas da posição para achar os vetores que definem a curva. A primeira derivada dá o vetor tangente, e a segunda derivada está relacionada à curvatura.
Calculando as primeiras derivadas:
Então, .
No ponto :
Passo 4
Calculando as segundas derivadas:
Então, .
No ponto :
Passo 5
O plano osculador é definido pelo ponto da curva e pelos vetores tangente e de curvatura naquele ponto. Para achar a equação do plano, precisamos do vetor normal ao plano, que é o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular o produto vetorial :
n = lang<= 4, -4, 2 rang<=
Passo 6
Com o vetor normal n = lang<= 4, -4, 2 rang<= e o ponto P(1, 1, 23) , podemos usar a equação do plano: