Dada a curva em R^3, x=t, y=t^2, z=23 t^3, achar no ponto em que t=1;
a equação do plano osculador,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação do plano osculador da curva dada por x = t , y = t^2 , z = 23t^3 no ponto onde t = 1 . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular a posição, a primeira e a segunda derivadas da curva para achar as direções importantes que definem o plano osculador.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando t = 1 . Basta substituir t nas equações:
x = 1, y = 1^2 = 1, z = 23(1)^3 = 23
Então, o ponto é P(1, 1, 23) .

Passo 3

Agora, precisamos das derivadas da posição para achar os vetores que definem a curva. A primeira derivada r'(t) dá o vetor tangente, e a segunda derivada r''(t) está relacionada à curvatura.
Calculando as primeiras derivadas:
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 2t^2
Então, r'(t) = lang<= 1, 2t, 2t^2 rang<= .
No ponto t = 1 :
r'(1) = lang<= 1, 2, 2 rang<=

Passo 4

Calculando as segundas derivadas:
d^2xdt^2 = 0, d^2ydt^2 = 2, d^2zdt^2 = 4t
Então, r''(t) = lang<= 0, 2, 4t rang<= .
No ponto t = 1 :
r''(1) = lang<= 0, 2, 4 rang<=

Passo 5

O plano osculador é definido pelo ponto da curva e pelos vetores tangente e de curvatura naquele ponto. Para achar a equação do plano, precisamos do vetor normal ao plano, que é o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular o produto vetorial r'(1) times r''(1) :
r'(1) = lang<= 1, 2, 2 rang<=, r''(1) = lang<= 0, 2, 4 rang<=
n = r' times r'' = i & j & k 1 & 2 & 2 0 & 2 & 4 = i(2 cdot 4 - 2 cdot 2) - j(1 cdot 4 - 2 cdot 0) + k(1 cdot 2 - 2 cdot 0)
n = lang<= 4, -4, 2 rang<=

Passo 6

Com o vetor normal n = lang<= 4, -4, 2 rang<= e o ponto P(1, 1, 23) , podemos usar a equação do plano:
4(x - 1) - 4(y - 1) + 2(z - 23) = 0
Simplificando:
4x - 4 - 4y + 4 + 2z - 43 = 0
4x - 4y + 2z - 43 = 0
Multiplicando tudo por 3 para eliminar a fração:
12x - 12y + 6z - 4 = 0
Ou, simplificando:
3x - 3y + 32z - 1 = 0

Resposta

A equação do plano osculador no ponto t = 1 é:
12x - 12y + 6z - 4 = 0

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