Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{2}{\infty}(-1){n} \frac{1}{\log n}

Passo 1

A série dada é sumn=2^infty(-1)^n1log n. Isso cai na categoria de séries alternadas, então vamos usar o teste de Leibniz. Para isso, precisamos verificar que a sequência an=1/log n é positiva, decrescente e tende a zero.

Passo 2

Primeiro, note que an=1/log n>0 para todo n>=2. Em seguida, como log ntoinfty quando ntoinfty, temos an=1/log nto0, satisfazendo a necessidade limntoinftyan=0.

Passo 3

Agora vamos ver a monotonicidade de an. Defina f(x)=1/log x para x>1. Calculando a derivada:
f'(x)=-1x(log x)^2<0para x>1
Isso mostra que f(x) é estritamente decrescente, e portanto an+1<an para todo n>=2.

Passo 4

Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), se an>0, decrescente e anto0, então sum(-1)^n an converge. Logo, nossa série converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, analisamos sum|(-1)^n/log n|=sum1/log n. Pelo teste da integral:
integral2^inftydxlog x=infty,
portanto sum1/log n diverge e a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Passo 6

Não existe expressão elementar conhecida para a soma dessa série, então ficamos apenas com a classificação de convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, não converge absolutamente e não possui soma fechada conhecida.

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