Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{2}{\infty}(-1){n} \frac{1}{\log n}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{2}{\infty}(-1){n} \frac{1}{\log n}
Passo 1
A série dada é
. Isso cai na categoria de séries alternadas, então vamos usar o teste de Leibniz. Para isso, precisamos verificar que a sequência
é positiva, decrescente e tende a zero.
Passo 2
Primeiro, note que
para todo
. Em seguida, como
quando
, temos
, satisfazendo a necessidade
.
Passo 3
Agora vamos ver a monotonicidade de
. Defina
para
. Calculando a derivada:
Isso mostra que
é estritamente decrescente, e portanto
para todo
.
Passo 4
Pelo teste de Leibniz (séries alternadas), se
, decrescente e
, então
converge. Logo, nossa série converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, analisamos
. Pelo teste da integral:
portanto
diverge e a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Passo 6
Não existe expressão elementar conhecida para a soma dessa série, então ficamos apenas com a classificação de convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, não converge absolutamente e não possui soma fechada conhecida.