Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(2 n)!}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Esse é um caso de série numérica positiva, e vamos usar o teste da razão para decidir convergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão. Seja
Então
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente.
Passo 3
Para estimar a soma, somamos os primeiros termos até obter boa aproximação:
Os termos caem muito rápido, e a soma parcial já se estabiliza em torno de
.
Passo 4
Não há expressão elementar simples para essa soma, mas numericamente temos
Resposta
A série converge (por teste da razão) e sua soma é aproximadamente