Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyn!(2n)!
Esse é um caso de série numérica positiva, e vamos usar o teste da razão para decidir convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
an = n!(2n)!
Então
an+1an = (n+1)!(2n+2)!,(2n)!n! = n+1(2n+2)(2n+1) = 12(2n+1) longrightarrow 0<1quando ntoinfty
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para estimar a soma, somamos os primeiros termos até obter boa aproximação:
n=1&:;1!2!=0,5, n=2&:;2!4!=224approx0,08333,totalapprox0,58333, n=3&:;6720approx0,00833,totalapprox0,59167, n=4&:;2440320approx0,000595,totalapprox0,59226, n=5&:;0,0000331,totalapprox0,59229, & vdots
Os termos caem muito rápido, e a soma parcial já se estabiliza em torno de 0,5922966.

Passo 4

Não há expressão elementar simples para essa soma, mas numericamente temos
sumn=1^inftyn!(2n)!approx0,5922966

Resposta

A série converge (por teste da razão) e sua soma é aproximadamente
0,5922966

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