Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^inftyarctg(n)n^2+1
Este é um problema de teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar comparação assintótica com uma série p-série.

Passo 2

Para n grande temos arctg(n)topi2. Logo, para n grande,
arctg(n)n^2+1 simpi/2n^2
Sabemos que sum 1/n^2 é convergente ( p=2>1). Assim, pela comparação assintótica (ou pelo Teste da Comparação Limite),
limntoinftyarctg(n)n^2+11/n^2 =limntoinftyn^2,arctg(n)n^2+1 =pi2in(0,infty),
o que garante que nossa série converge.

Passo 3

Como arctg(n)>=0 para n>=1, a convergência acima é até absoluta. Portanto,
sumn=1^inftyarctg(n)n^2+1 conver>= absolutamente

Passo 4

Não há expressão fechada simples para a soma dessa série em termos de funções elementares padrão. Podemos apenas afirmar sua convergência, mas não obter um valor fechado em forma de constantes elementares.

Resposta

A série converge (absolutamente) pela comparação com sum 1/n^2. Não é possível escrever sua soma em forma fechada elementar.

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