Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{2}+1}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{\operatorname{arctg} n}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
Este é um problema de teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar comparação assintótica com uma série
-série.
Passo 2
Para
grande temos
. Logo, para
grande,
Sabemos que
é convergente (
). Assim, pela comparação assintótica (ou pelo Teste da Comparação Limite),
o que garante que nossa série converge.
Passo 3
Como
para
, a convergência acima é até absoluta. Portanto,
Passo 4
Não há expressão fechada simples para a soma dessa série em termos de funções elementares padrão. Podemos apenas afirmar sua convergência, mas não obter um valor fechado em forma de constantes elementares.
Resposta
A série converge (absolutamente) pela comparação com
. Não é possível escrever sua soma em forma fechada elementar.