Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente e, caso seja, encontrar sua soma. Trata-se de uma série de termos positivos cujo comportamento para grandes
lembra o da série harmônica. Vamos usar o Teste da Comparação por Limite para concluir sobre a convergência.
Passo 2
Considere a série de referência
que é a série harmônica e é conhecida por divergir. Definimos
Aplicamos o Teste da Comparação por Limite, calculando
Passo 3
Para avaliar o limite, fatoramos
no numerador e denominador:
Como
, a série
tem o mesmo comportamento de
. Mas
diverge, logo a série
também diverge.
Resposta
A série diverge; não é possível atribuir valor finito à sua soma.