Nos exercícios 05 a 37 , decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
Decida se a série é convergente e, quando possível, encontre o valor da soma.
\sum_{1}^{\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyn5n^2+3
é convergente e, caso seja, encontrar sua soma. Trata-se de uma série de termos positivos cujo comportamento para grandes n lembra o da série harmônica. Vamos usar o Teste da Comparação por Limite para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Considere a série de referência
sumn=1^infty1n,
que é a série harmônica e é conhecida por divergir. Definimos
an = n5n^2+3, bn = 1n
Aplicamos o Teste da Comparação por Limite, calculando
L = limntoinftyanbn = limntoinftyn5n^2+31n = limntoinftyn^25n^2+3

Passo 3

Para avaliar o limite, fatoramos n^2 no numerador e denominador:
L = limntoinfty15 + tfrac3n^2 = 15
Como 0 < L < infty, a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn. Mas sum bn = sum 1/n diverge, logo a série sum an também diverge.

Resposta

A série diverge; não é possível atribuir valor finito à sua soma.

Exercícios relacionados