Dada a curva em R^3, x=t, y=t^2, z=23 t^3, achar no ponto em que t=1;
os vetores unitários T, N, B;

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, definida pelas equações x = t, y = t^2 e z = 23 t^3. O objetivo é encontrar, no ponto onde t = 1, os vetores unitários T (tangente), N (normal) e B (binormal). Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas das funções paramétricas e usar conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da curva, que é dado por r(t) = lang<= t, t^2, 23 t^3 rang<=. Para encontrar o vetor tangente, precisamos derivar r(t) em relação a t.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de r(t):
r'(t) = lang<= ddt t, ddt t^2, ddt 23 t^3 rang<= = lang<= 1, 2t, 2t^2 rang<=

Passo 4

A seguir, avaliamos r'(t) no ponto t = 1:
r'(1) = lang<= 1, 2(1), 2(1)^2 rang<= = lang<= 1, 2, 2 rang<=

Passo 5

Agora, vamos normalizar r'(1) para obter o vetor unitário tangente T. A magnitude de r'(1) é:
|r'(1)| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então,
T = r'(1)|r'(1)| = lang<= 1, 2, 2 rang<=3 = lang<= 13, 23, 23 rang<=

Passo 6

Para encontrar o vetor normal N, precisamos primeiro encontrar a segunda derivada da curva:
r''(t) = ddt r'(t) = lang<= 0, 2, 4t rang<=
Avaliando em t = 1:
r''(1) = lang<= 0, 2, 4 rang<=

Passo 7

A fórmula para o vetor normal N é:
N = r''(t)|r''(t)| projetado na direção ortogonal a T çã
Primeiro, encontramos a componente de r''(1) que é perpendicular a T. Fazemos o produto interno:
r''(1) cdot T = lang<= 0, 2, 4 rang<= cdot lang<= 13, 23, 23 rang<= = 0 cdot 13 + 2 cdot 23 + 4 cdot 23 = 43 + 83 = 123 = 4
Então, a componente perpendicular é:
r''(1) - (r''(1) cdot T) T = lang<= 0, 2, 4 rang<= - 4 lang<= 13, 23, 23 rang<= = lang<= 0 - 43, 2 - 83, 4 - 83 rang<= = lang<= -43, -23, 43 rang<=
A magnitude desse vetor é:
raiz(-43)^2 + (-23)^2 + (43)^2 = raiz169 + 49 + 169 = raiz369 = raiz4 = 2
Então,
N = 12 lang<= -43, -23, 43 rang<= = lang<= -23, -13, 23 rang<=

Passo 8

Para encontrar o vetor binormal B, usamos o produto vetorial entre T e N:
B = T times N
Calculando o produto vetorial:
T times N = i & j & k 13 & 23 & 23 -23 & -13 & 23 = i ( 23 cdot 23 - 23 cdot -13 ) - j ( 13 cdot 23 - 23 cdot -23 ) + k ( 13 cdot -13 - 23 cdot -23 )
Simplificando:
= i ( 49 + 29 ) - j ( 29 + 49 ) + k ( -19 + 49 )
= i cdot 69 - j cdot 69 + k cdot 39 = lang<= 23, -23, 13 rang<=
Esse vetor já é unitário, pois:
raiz(23)^2 + (-23)^2 + (13)^2 = raiz49 + 49 + 19 = raiz99 = 1

Resposta

No ponto onde t = 1, os vetores unitários são:
T = lang<= 13, 23, 23 rang<=, N = lang<= -23, -13, 23 rang<=, B = lang<= 23, -23, 13 rang<=

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