Dada a curva em , achar no ponto em que ;
os vetores unitários ;
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, definida pelas equações , e . O objetivo é encontrar, no ponto onde , os vetores unitários (tangente), (normal) e (binormal). Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas das funções paramétricas e usar conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da curva, que é dado por . Para encontrar o vetor tangente, precisamos derivar em relação a .
Passo 3
Calculando a primeira derivada de :
Passo 4
A seguir, avaliamos no ponto :
Passo 5
Agora, vamos normalizar para obter o vetor unitário tangente . A magnitude de é:
Então,
Passo 6
Para encontrar o vetor normal , precisamos primeiro encontrar a segunda derivada da curva:
Avaliando em :
Passo 7
A fórmula para o vetor normal é:
Primeiro, encontramos a componente de que é perpendicular a . Fazemos o produto interno:
Então, a componente perpendicular é:
A magnitude desse vetor é:
Então,
Passo 8
Para encontrar o vetor binormal , usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
= i ( 49 + 29 ) - j ( 29 + 49 ) + k ( -19 + 49 )
= i cdot 69 - j cdot 69 + k cdot 39 = lang<= 23, -23, 13 rang<=